ウリソンの補題

位相幾何学において、ウリソンの補題は、位相空間が正規であるのは、互いに素な2つの閉部分集合が連続関数によって分離できる場合に限る、という補題である。^{[ 1 ]}

ウリゾーンの補題は、正規空間上の様々な性質を持つ連続関数を構成するためによく用いられる。全ての距離空間と全てのコンパクトハウスドルフ空間は正規空間であるため、この補題は広く適用可能である。この補題は、ティーツェ拡張定理によって一般化され（そして通常、その証明で用いられる）、広く用いられている。

この補題は、数学者パヴェル・サムイロヴィチ・ウリゾーンにちなんで名付けられました。

2つのサブセット${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$位相空間の${\displaystyle X}$近隣地域が存在する場合、近隣地域によって分けられていると言われます。${\displaystyle U}$の${\displaystyle A}$そして${\displaystyle V}$の${\displaystyle B}$互いに排他的な。特に${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$それらは必然的に互いに排他的である。

2つの単純な部分集合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$連続関数が存在する場合、それらは連続関数によって分離されていると言われる。${\displaystyle f:X\to [0,1]}$から${\displaystyle X}$単位区間へ${\displaystyle [0,1]}$そのため${\displaystyle f(a)=0}$すべての人々のために${\displaystyle a\in A}$そして${\displaystyle f(b)=1}$すべての人々のために${\displaystyle b\in B.}$このような関数は、ウリソン関数と呼ばれます。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B.}$

したがって、2つの部分集合がある場合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$関数によって分離されている場合、それらの閉包も分離されます。また、2 つの部分集合が関数によって分離されている場合、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$関数によって区切られている場合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$地域ごとに分かれている。

正規空間とは、互いに素な2つの閉集合が近傍によって分離できる位相空間のことである。ウリゾーンの補題によれば、位相空間が正規であるのは、互いに素な2つの閉集合が連続関数によって分離できる場合に限られる。

セット${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$正確に分離する必要はない${\displaystyle f}$つまり、それは必ずしも必要ではなく、保証されているわけでもない。${\displaystyle f(x)\neq 0}$そして${\displaystyle \neq 1}$のために${\displaystyle x}$外${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B.}$位相空間${\displaystyle X}$互いに素な2つの閉部分集合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$連続関数によって正確に分離されているのは完全に正常です。

ウリゾーンの補題は、「チコノフ性」や「完全ハウスドルフ空間」などの他の位相的性質の定式化につながった。例えば、この補題の系として、正規T ₁空間はチコノフ空間であるということが挙げられる。

位相空間${\displaystyle X}$が正常であるのは、任意の 2 つの空でない閉じた互いに素な部分集合に対して、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$の${\displaystyle X,}$連続マップが存在する${\displaystyle f:X\to [0,1]}$そのため${\displaystyle f(A)=\{0\}}$そして${\displaystyle f(B)=\{1\}.}$

証明は、正規性の次の代替的特徴付けを繰り返し適用することによって進められる。${\displaystyle X}$通常の空間です。${\displaystyle Z}$は、の開部分集合である。${\displaystyle X}$、 そして${\displaystyle Y\subseteq Z}$が閉じているならば、開いている${\displaystyle U}$そして閉鎖された${\displaystyle V}$そのため${\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}$。

させて${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$互いに素な閉部分集合である${\displaystyle X}$証明の主なアイデアは、この正規性の特徴付けを繰り返し適用することです。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B^{\complement }}$段階ごとに新しいセットを構築しながら、作業を進めていきます。

私たちが構築する集合は、二進分数によってインデックス付けされます。すべての二進分数に対して${\displaystyle r\in (0,1)}$我々は開集合を構築する${\displaystyle U(r)}$および閉じた部分集合${\displaystyle V(r)}$の${\displaystyle X}$すなわち、

• ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$そして${\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}$すべての人々のために${\displaystyle r}$、
• ${\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}$すべての人々のために${\displaystyle r}$、
• のために${\displaystyle r<s}$、${\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}$。

直感的に、集合は${\displaystyle U(r)}$そして${\displaystyle V(r)}$層状に外側へ拡大${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complement }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complement }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complement }\end{array}}}$

この構成は数学的帰納法によって進められる。基本ステップでは、2つの追加集合を定義する。${\displaystyle U(1)=B^{\complement }}$そして${\displaystyle V(0)=A}$。

ここで、${\displaystyle n\geq 0}$そしてセット${\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}$そして${\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}$既に建設済み$${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}$$。これは、空虚に満たされることに注意してください。${\displaystyle n=0}$。 以来${\displaystyle X}$正常です、どんな${\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}$開集合と閉集合を見つけることができ、

${\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}$

次に、上記の３つの条件が検証されます。

これらの集合が得られたら、${\displaystyle f(x)=1}$もし${\displaystyle x\not \in U(r)}$いかなる場合でも${\displaystyle r}$; さもないと${\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}$すべての${\displaystyle x\in X}$、 どこ${\displaystyle \inf }$は下限を表す。二進有理数が稠密であるという事実を用いると、次のことを示すのはそれほど難しくない。${\displaystyle f}$連続であり、次の性質を持つ。${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$そして${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}$このステップでは${\displaystyle V(r)}$動作するように設定してください。

Mizarプロジェクトは、URYSOHN3ファイルにおいて、ウリゾーンの補題の証明を完全に形式化し、自動的に検証しました。

• 軟化剤

• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240。​ 
• ウィラード、スティーブン（1970）。一般トポロジー。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。

• 「ウリゾーンの補題」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Mizar システムの証明: https://www.mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20