複素解析におけるステートメント
数学 の分野である 複素解析 において 、 ケーベの 1/4 定理は 次のことを述べています。
ケーベの四分の一定理。 単位円板 から 複素平面 の 部分集合 への 単射解析関数の像には、 中心が で 半径が である円板が含まれます 。
ふ :
だ
→
Ｃ
{\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbb {C} }
だ
{\displaystyle \mathbf {D} }
ふ （ 0 ）
{\displaystyle f(0)}
|
ふ ′
（ 0 ）
|
/
4
{\displaystyle |f'(0)|/4}
この定理は、1907 年にこの結果を予想したポール・ケーベ にちなんで名付けられました。この定理は、1916 年に ルートヴィヒ・ビーベルバッハ によって証明されました。 ケーベ関数の例は、 定理の定数は改善 (増加) できないことを示しています。
1
/
4
{\displaystyle 1/4}
関連する結果は シュワルツの補題 であり、両方に関連する概念は 共形半径 である。
グレンヴァルの面積定理 仮に
グ （ ず ） = ず +
b
1
ず
− 1
+
b
2
ず
− 2
+ ⋯
{\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }
は では一価である 。
|
ず
|
> 1
{\displaystyle |z|>1}
∑
ん = 1
∞
ん
|
b
ん
|
2
≤ 1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}\leq 1.}
実際、 の場合 、円板の像の補集合は 有界領域 となる 。その面積は次のように与えられる。
r
>
1
{\displaystyle r>1}
|
z
|
>
r
{\displaystyle |z|>r}
X
(
r
)
{\displaystyle X(r)}
∫
X
(
r
)
d
x
d
y
=
1
2
i
∫
∂
X
(
r
)
z
¯
d
z
=
1
2
i
∫
|
z
|
=
r
g
¯
d
g
=
π
r
2
−
π
∑
n
=
1
∞
n
|
b
n
|
2
r
−
2
n
.
{\displaystyle \int _{X(r)}dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial X(r)}{\overline {z}}\,dz={1 \over 2i}\int _{|z|=r}{\overline {g}}\,dg=\pi r^{2}-\pi \sum _{n=1}^{\infty }n|b_{n}|^{2}r^{-2n}.}
面積は正なので、を に減少さ せることで結果が導かれます 。上記の証明は、 の像の補数が 面積がゼロ、つまり ルベーグ測度が ゼロである場合にのみ等式が成立することを示しています。
r
{\displaystyle r}
1
{\displaystyle 1}
g
{\displaystyle g}
この結果は1914年にスウェーデンの数学者 トーマス・ハーコン・グロンヴァル によって証明されました。
コーベ関数 ケーベ 関数 は次のように定義される。
f
(
z
)
=
z
(
1
−
z
)
2
=
∑
n
=
1
∞
n
z
n
{\displaystyle f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}}
この関数に定理を適用すると、画像領域に点が含まれず 、したがって を中心とし、 半径が より大きい円盤を含めることができない ため、定理の
定数は改善できないことがわかります 。
1
/
4
{\displaystyle 1/4}
f
(
D
)
{\displaystyle f(\mathbf {D} )}
z
=
−
1
/
4
{\displaystyle z=-1/4}
0
{\displaystyle 0}
1
/
4
{\displaystyle 1/4}
回転したKoebe 関数 は
f
α
(
z
)
=
z
(
1
−
α
z
)
2
=
∑
n
=
1
∞
n
α
n
−
1
z
n
{\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}
絶対値 の 複素数 を 持つ 。Koebe関数とその回転は : つまり、 単葉 (解析的かつ 1対1 )であり、 および を満たします 。
α
{\displaystyle \alpha }
1
{\displaystyle 1}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
f
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle f'(0)=1}
単葉関数に対するビーバーバッハの係数不等式 させて
g
(
z
)
=
z
+
a
2
z
2
+
a
3
z
3
+
⋯
{\displaystyle g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }
は単価である 。
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
|
a
2
|
≤
2.
{\displaystyle |a_{2}|\leq 2.}
これは、グロンウォールの面積定理を奇数一価関数に適用することで導かれる。
g
(
z
−
2
)
−
1
/
2
=
z
−
1
2
a
2
z
−
1
+
⋯
.
{\displaystyle g(z^{-2})^{-1/2}=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .}
等式は、回転された Koebe 関数の
場合にのみ成立します。
g
{\displaystyle g}
この結果は 1916 年にルートヴィヒ・ビーベルバッハ によって証明され、 という
彼の 有名な予想 の基礎となり 、1985 年に ルイ・ド・ブランジュ によって証明されました。
|
a
n
|
≤
n
{\displaystyle |a_{n}|\leq n}
四分の一定理の証明 アフィン写像を適用すると、
f
(
0
)
=
0
,
f
′
(
0
)
=
1
,
{\displaystyle f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,}
となることによって
f
(
z
)
=
z
+
a
2
z
2
+
⋯
.
{\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .}
特に、係数不等式は となる 。が に含まれない場合 、
|
a
2
|
≤
2
{\displaystyle |a_{2}|\leq 2}
w
{\displaystyle w}
f
(
D
)
{\displaystyle f(\mathbf {D} )}
h
(
z
)
=
w
f
(
z
)
w
−
f
(
z
)
=
z
+
(
a
2
+
w
−
1
)
z
2
+
⋯
{\displaystyle h(z)={wf(z) \over w-f(z)}=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots }
は では一価です 。
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
係数不等式を適用すると 、
h
{\displaystyle h}
|
w
|
−
1
=
|
w
−
1
|
=
|
−
a
2
+
a
2
+
w
−
1
|
≤
|
a
2
|
+
|
a
2
+
w
−
1
|
≤
4
,
{\displaystyle |w|^{-1}=|w^{-1}|=|-a_{2}+a_{2}+w^{-1}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,}
となることによって
|
w
|
≥
1
4
.
{\displaystyle |w|\geq {1 \over 4}.}
ケーベ歪み定理 ケーベ 歪み定理は、 一価関数とその導関数の一連の境界を与える。これは、第2係数に対するビーベルバッハの不等式とケーベの1/4定理から直接導かれるものである。 [1]
を 上の単葉関数として 正規化し 、 とします 。 すると
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
f
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle f'(0)=1}
r
=
|
z
|
{\displaystyle r=|z|}
r
(
1
+
r
)
2
≤
|
f
(
z
)
|
≤
r
(
1
−
r
)
2
{\displaystyle {r \over (1+r)^{2}}\leq |f(z)|\leq {r \over (1-r)^{2}}}
1
−
r
(
1
+
r
)
3
≤
|
f
′
(
z
)
|
≤
1
+
r
(
1
−
r
)
3
{\displaystyle {1-r \over (1+r)^{3}}\leq |f^{\prime }(z)|\leq {1+r \over (1-r)^{3}}}
1
−
r
1
+
r
≤
|
z
f
′
(
z
)
f
(
z
)
|
≤
1
+
r
1
−
r
{\displaystyle {1-r \over 1+r}\leq \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1+r \over 1-r}}
がケーベ関数で
ある場合に限り、等しい
f
{\displaystyle f}
f
(
z
)
=
z
(
1
−
e
i
θ
z
)
2
.
{\displaystyle f(z)={z \over (1-e^{i\theta }z)^{2}}.}
注記
参考文献 ビーバーバッハ、ルートヴィヒ (1916)、「Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln」、 S.-B.プロイス。アカド。ウィス。 : 940–955 カールソン、Ｌ ． Gamelin、TDW (1993)、複雑力学、Universitext: Tracts in Mathematics、Springer-Verlag、pp. 1–2、 ISBN 0-387-97942-5 コンウェイ、ジョン・B. （1995）、 一複素変数関数II 、ベルリン、ニューヨーク： シュプリンガー・フェアラーク 、 ISBN 978-0-387-94460-9 Duren, PL (1983)、 Univalent Functions 、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 259、シュプリンガー・フェルラーグ、 ISBN 0-387-90795-5 グロンウォール、TH (1914)、「共形表現に関するいくつかのコメント」、 Annals of Mathematics 、 16 : 72–76、 doi :10.2307/1968044 Nehari、Zeev (1952)、 等角図法 、ドーバー、248–249 ページ、 ISBN 0-486-61137-X Pommerenke, C. (1975)、 Gerd Jensen による二次微分に関する章を含む Univalent Functions 、Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher、vol. 15、ヴァンデンフック＆ルプレヒト ルディン、ウォルター (1987)。 実数と複素数の解析 。高等数学シリーズ (第 3 版)。マグロウヒル 。ISBN 0-07-054234-1 MR 0924157 。
外部リンク PlanetMath の Koebe 1/4 定理 
