エパネチニコフ分布

エパネチニコフ

パラメータ	${\displaystyle c>0}$ 規模（実数）
サポート	${\displaystyle -c\leq x\leq c}$
PDF	${\displaystyle {\frac {3}{4c}}\max \left(0,1-\left({\frac {x}{c}}\right)^{2}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq -c\\{\frac {1}{2}}+{\frac {3x}{4c}}-{\frac {x^{3}}{4c^{3}}}&{\text{for }}x\in (-c,c)\\1&{\text{for }}x\geq c\end{cases}}}$
平均	${\displaystyle 0}$
中央値	${\displaystyle 0}$
モード	${\displaystyle 0}$
分散	${\displaystyle {\frac {c^{2}}{5}}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\frac {6}{7}}}$

確率論と統計学において、エパネチニコフ分布（エパネチニコフカーネルとも呼ばれる）は、有限区間で定義される連続確率分布である。これは、1969年にカーネル密度推定の文脈でこれを導入したVAエパネチニコフにちなんで名付けられた。^[1]

確率変数の確率密度関数が次のように与えられる場合、その変数はエパネチニコフ分布に従います。

${\displaystyle p(x|c)={\frac {3}{4c}}\max \left(0,1-\left({\frac {x}{c}}\right)^{2}\right)}$

ここで、はスケールパラメータです。設定すると、単位分散の確率分布が生成されます。 ${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c={\sqrt {5}}}$

エパネチニコフ分布は、次のようなさまざまな分野で応用されています。

• カーネル密度推定:ノンパラメトリック統計、特にカーネル密度推定におけるカーネル関数として広く使用されています。この文脈では、エパネチニコフ カーネルと呼ばれることがよくあります。詳細については、 「よく使用されるカーネル関数」を参照してください。

• エパネチニコフ分布は、x 軸に沿ってシフトおよびスケーリングされたベータ分布の特殊なケースとして考えることができます。