Loading article…
確率プロット相関係数（PPCC）プロットは、データセットを最もよく表す分布族の形状パラメータを特定するためのグラフ的手法です。この手法は、ワイブル分布や一般化ガウス分布のように、単一の形状パラメータと位置パラメータおよび尺度パラメータによって定義される分布族に適していますが、正規分布のように、位置パラメータと尺度パラメータのみによって定義される分布には適しておらず、そもそも適用できません。
多くの統計分析は、データが得られた母集団に関する分布仮定に基づいています。しかし、分布族の形状は、形状パラメータの値によって大きく異なる可能性があります。そのため、形状パラメータの適切な値を見つけることは、分析において不可欠なステップとなります。多くの分析において、データに適した分布モデルを見つけることが、分析の主要な焦点となります。
この手法は単純に「形状パラメータのさまざまな値に対して確率プロット相関係数をプロットし、最も適合度の高い値を選択する」というものです。
PPCCプロットは以下によって構成されます。
つまり、形状パラメータの一連の値に対して、特定の形状パラメータ値に関連付けられた確率プロットの相関係数が計算されます。これらの相関係数は、対応する形状パラメータに対してプロットされます。相関係数が最大となる値が、形状パラメータの最適値となります。精度を高めるために、PPCCプロットを2回生成することができます。1回目は適切な近傍を見つけるため、2回目は推定値を微調整するためです。
PPCCプロットは、まず形状パラメータの適切な値を求めるために使用されます。次に、確率プロットが生成され、位置パラメータと尺度パラメータの推定値が得られるとともに、分布の適合性の妥当性をグラフで評価することができます。
PPCCプロットは、以下の質問に答えるものです。
PPCCプロットは、特定の分布の形状パラメータを推定するための適切な選択肢を見つけるだけでなく、どの分布族が最も適切かを判断する際にも役立ちます。例えば、信頼性データセットが与えられた場合、ワイブル分布、対数正規分布、ガンマ分布、逆ガウス分布、そして場合によってはその他の分布のPPCCプロットを1ページに生成することができます。この1ページには、複数の分布の形状パラメータの最適値が表示され、さらに、これらの分布族のうちどれが最も適合しているか（最大確率プロット相関係数で測定）も示されます。つまり、ワイブル分布の最大PPCC値が0.99で、対数正規分布の最大PPCC値が0.94である場合、ワイブル分布族の方がより良い選択肢であると合理的に結論付けることができます。
分布モデルを比較する際には、PPCC値が最大となるモデルを単純に選択すべきではありません。多くの場合、複数の分布モデルが同程度のPPCC値を示します。例えば、対数正規分布とワイブル分布は、与えられた信頼性データセットにどちらも非常によく適合する可能性があります。通常、分布の複雑さを考慮する必要があります。つまり、PPCC値がわずかに小さい単純な分布の方が、より複雑な分布よりも好ましい場合があります。同様に、場合によっては、PPCC値がわずかに小さい分布を好むことについて、基礎となる科学モデルの観点から理論的な正当性があるかもしれません。また、分布モデルが最適かどうかを知る必要はなく、目的に十分であればよい場合もあります。つまり、他の分布の方がデータに多少よく適合する場合でも、正規分布データ用に設計された手法を使用できる可能性があります。
形状パラメータλを持つTukeyラムダPPCCプロットは、対称分布に特に有用です。分布が短尾か長尾かを示し、さらにいくつかの一般的な分布を示すことができます。具体的には、
TukeyのラムダPPCCプロットで最大値が0.14付近であれば、正規分布がデータに適したモデルであると合理的に結論づけることができます。最大値が0.14未満であれば、二重指数分布やロジスティック分布のような裾の長い分布の方が適しています。最大値が-1付近であれば、コーシー分布のような裾の非常に長い分布を選択することになります。最大値が0.14より大きい場合は、ベータ分布や一様分布のような裾の短い分布を選択することになります。
Tukey-lambda PPCCプロットは、適切な分布を提案するために使用されます。適切な代替案について、PPCCプロットと確率プロットを併せて確認する必要があります。
この記事には、米国国立標準技術研究所（NIST）のパブリックドメイン資料が含まれています。