確率以下の尺度

確率と測度に関する数学理論において、部分確率測度は確率測度と密接に関連した測度です。確率測度は常に基礎となる集合に値 1 を割り当てますが、部分確率測度は基礎となる集合に 1 以下の値を割り当てます。

意味

を測定可能空間上の測度とします。 $\mu$ $(X,{\mathcal {A}})$

の場合には、は部分確率測度と呼ばれる。^[1]^[2] $\mu$ $\mu (X)\leq 1$

測度論では、測度間に次のような関係が成り立ちます。 ${\text{確率}}\implies {\text{部分確率}}\implies {\text{有限}}\implies \sigma {\text{-有限}}$

したがって、すべての確率測度は部分確率測度ですが、その逆は真ではありません。また、すべての部分確率測度は有限測度であり、σ 有限測度ですが、その逆も真ではありません。

^ クレンケ、アヒム（2008年）。確率論。ベルリン：シュプリンガー。p.247。doi ： 10.1007 / 978-1-84800-048-3。ISBN 978-1-84800-047-6。
^ Kallenberg, Olav (2017).ランダム測定、理論と応用。スイス：Springer。p. 30。doi :10.1007/ 978-3-319-41598-7。ISBN 978-3-319-41596-3。