ジャック・トゥシャール

ジャック・アンドレ・シャルル・トゥシャール（1885年- 1968年）はフランスの数学者。1953年、彼は奇数の完全数は次の形式であることを証明した。${\displaystyle 12k+1}$または${\displaystyle 36k+9}$組み合わせ論と確率論において、彼はトゥシャール多項式を導入した。また、男女が交互に座り、配偶者の隣に座らないような座席配置の数を数える「メナージュ問題」の解法でも知られている。

カタラン数に関する以下の代数的恒等式

${\displaystyle C_{k}={1 \over {k+1}}{{2k} \choose {k}},\quad k\geq 0}$

これは明らかにトゥシャールによるものと思われる（リチャード・P・スタンレーによれば、彼は自身のパノラマ記事「カタラン数と関連数に関する演習」の中で、カタラン数に関する非常に多くの異なる定義を挙げている）。${\displaystyle n\geq 0}$1つは

${\displaystyle C_{n+1}=\sum _{k\,\leq \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}.\,}$

生成関数を使用する

${\displaystyle C(t)=\sum _{n\geq 0}C_{n}t^{n}={{1-{\sqrt {1-4t}}} \over {2t}}}$

生成級数の代数的操作により、トゥシャールの恒等式が関数方程式と等価であることが証明できる。

$\displaystyle {t \over {1-2t}}C\left({t^{2} \over (1-2t)^{2}}\right)=C(t)-1}$

カタルーニャ生成シリーズに満足${\displaystyle C(t)}$。

• カナダ数学ジャーナル 1956年、第8巻、第3号。フランス語版ジャーナル。