画像のグラデーション

2 種類のグラデーション。青い矢印はグラデーションの方向を示します。明るい領域はピクセル値が高いことを示します。

画像のグラデーションとは、画像の強度または色の方向的な変化です。画像のグラデーションは、画像処理における基本的な構成要素の 1 つです。たとえば、Canny エッジ検出機能は、エッジ検出に画像のグラデーションを使用します。デジタル画像編集用のグラフィックソフトウェアでは、グラデーションまたはカラーグラデーションという用語は、低い値から高い値への均一なグラデーションと見なすことができる段階的な色のブレンドにも使用され、右側の画像では黒から白に見られます。これは、カラープログレッションとも呼ばれます。

数学的には、各画像点における2変数関数（ここでは画像強度関数）の勾配は、水平方向と垂直方向の導関数によって与えられる成分を持つ2次元ベクトルです。各画像点において、勾配ベクトルは強度が最大限に増加する方向を指し、勾配ベクトルの長さはその方向の変化率に対応します。^[1]

デジタル画像の強度関数は離散点でのみ既知であるため、画像ポイントでサンプリングされた基礎となる連続強度関数が存在すると仮定しない限り、この関数の導関数を定義することはできません。いくつかの追加の仮定により、連続強度関数の導関数は、サンプリングされた強度関数、つまりデジタル画像上の関数として計算できます。これらの導関数の近似値は、さまざまな精度で定義できます。画像勾配を近似する最も一般的な方法は、Sobel 演算子やPrewitt 演算子などのカーネルを使用して画像を畳み込むことです。

画像のグラデーションは、追加情報を伝達するために、地図やその他のデータの視覚的表現でよく使用されます。GISツールは、色の変化を使用して、標高や人口密度などを示します。

コンピュータービジョン

コンピュータビジョンでは、画像の勾配を使用して画像から情報を抽出できます。この目的のために、勾配画像は元の画像から作成されます (通常はフィルターで畳み込むことによって作成されます。最も単純なフィルターの 1 つはSobel フィルターです)。勾配画像の各ピクセルは、元の画像内の同じポイントの特定の方向における強度の変化を測定します。方向の全範囲を取得するには、x 方向と y 方向の勾配画像を計算します。

最も一般的な用途の 1 つは、エッジ検出です。勾配画像が計算された後、勾配値の大きいピクセルはエッジピクセルの候補になります。勾配の方向で勾配値が最大となるピクセルがエッジピクセルになり、勾配方向に対して垂直な方向にエッジをトレースできます。勾配を使用するエッジ検出アルゴリズムの 1 つの例として、Canny エッジ検出器があります。

画像のグラデーションは、堅牢な特徴とテクスチャのマッチングにも使用できます。照明やカメラのプロパティが異なると、同じシーンの 2 つの画像のピクセル値が大幅に異なることがあります。これにより、マッチングアルゴリズムで非常に類似した、または同一の特徴をマッチングできないことがあります。これを解決する 1 つの方法は、元の画像から計算されたグラデーション画像に基づいてテクスチャまたは特徴のシグネチャを計算することです。これらのグラデーションは照明やカメラの変化の影響を受けにくいため、マッチングエラーが軽減されます。

数学

画像の勾配は部分ベクトルである: ^[2]^{: 165}

\nabla f={\begin{bmatrix}g_{x}\\g_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}\\{\frac {\partial f}{\partial y}}\end{bmatrix}}

、

どこ：

\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}

はxに関する微分（x方向の勾配）である。

\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}

y に関する微分（y 方向の勾配）です。

画像の微分は有限差分で近似できます。中心差分を使用する場合は、畳み込みによって画像に 1 次元フィルターを適用して計算できます。 $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}$ $\mathbf {A}$

{\frac {\partial f}{\partial y}}={\begin{bmatrix}-1\\+1\end{bmatrix}}*\mathbf {A}

ここで、は1次元の畳み込み演算を表します。この2×1フィルタは画像を半ピクセルシフトします。これを回避するには、次の3×1フィルタを使用します。 $*$

{\begin{bmatrix}-1\\0\\+1\end{bmatrix}}

勾配方向は次式で計算できる：^[2]^{: 706}

\theta =\operatorname {tan{^{-}}{^{1}}} \left[{\frac {g_{y}}{g_{x}}}\right]

、

そしてその大きさは次のように与えられる：^[3]

{\sqrt {g_{y}^{2}+g_{x}^{2}}}

参照

参考文献

^ Jacobs, David. 「画像のグラデーション」 CMSC 426 の授業ノート (2005)
^ ab ゴンザレス、ラファエル、リチャード・ウッズ（2008年）。デジタル画像処理（第3版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：ピアソンエデュケーション社。ISBN 978-0-13-168728-8。
^ 「エッジ：勾配エッジ検出」。homepages.inf.ed.ac.uk 。2023年4月9日閲覧。

さらに読む

Shapiro, Linda ; George Stockman ( 2001年 1 月)。「5、7、10」。コンピュータビジョン。ニュージャージー州アッパーサドルリバー: Prentice-Hall, Inc.、pp. 157–158、215–216、299–300。ISBN 0-13-030796-3。

外部リンク

グラデーションフィルター関数

[1] Jacobs, David. 「画像のグラデーション」 CMSC 426 の授業ノート (2005)

[dip3-2] ゴンザレス、ラファエル、リチャード・ウッズ（2008年）。デジタル画像処理（第3版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：ピアソンエデュケーション社。ISBN 978-0-13-168728-8。

[3] 「エッジ：勾配エッジ検出」。homepages.inf.ed.ac.uk 。2023年4月9日閲覧。