完全正行列

数学では、完全正行列とは、すべての小行列式が正である正方行列のことです。つまり、すべての正方部分行列の行列式が正の数です。^{[ 1 ]} 完全正行列はすべての要素が正であるため、正行列でもあります。また、すべての主小行列式が正（かつ正の固有値）です。したがって、対称完全正行列は正定値行列でもあります。完全非負行列も同様に定義されますが、すべての小行列式が非負（正またはゼロ）でなければなりません。一部の著者は、「完全正」という言葉を、すべての完全非負行列を含むものとして使用しています。

させて${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$n × n行列と する。${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots ,n\}}$および次の形式の任意のp × p部分行列${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$ どこ：

${\displaystyle 1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.}$

A が完全正行列となるのは、次の条件を満たす場合です。^{[ 2 ]}

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )>0}$

すべてのサブ行列について${\displaystyle \mathbf {B} }$このように形成することができる。

歴史的に全正値理論の発展につながったトピックには、次の研究が含まれます。^{[ 2 ]}

• 完全に正であるカーネルと行列のスペクトル特性、
• グリーン関数が完全に正である常微分方程式は、機械振動の理論（1930年代半ばにMGクラインと数人の同僚によって）で現れる。
• 変分減少特性（1930年にIJシェーンベルクによって開始）
• ポーヤ周波数関数（1940年代後半から1950年代前半にかけてIJシェーンベルクによって考案）。

定理。 (ガントマッハー、クレイン、1941 年) ^{[ 3 ]}$\displaystyle 0<x_{0}<\dots <x_{n}}$が正の実数である場合、ヴァンデルモンド行列は$${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}}$$完全に肯定的です。

より一般的には、$\alpha_0}<\dots <\alpha_n$は実数とし、$\displaystyle 0<x_{0}<\dots <x_{n}}$が正の実数である場合、一般化ヴァンデルモンド行列${\displaystyle V_{ij}=x_{i}^{\alpha _{j}}}$完全に肯定的です。

証明（概略）。次の場合を証明すれば十分である。${\displaystyle \alpha _{0}=0,\dots ,\alpha _{n}=n}$。

の場合$\displaystyle 0\leq \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$有理正実数である場合、前のケースに帰着します。${\displaystyle p_{i}/q_{i}=\alpha _{i}}$すると${\displaystyle x'_{i}:=x_{i}^{1/q_{i}}}$これは、この行列がより大きなヴァンデルモンド行列の小行列式であることを示しており、したがって、この行列も完全に正である。

の場合$\displaystyle 0\leq \alpha _{0}<\dots <\alpha _{n}}$正の実数である場合、有理数近似の極限を取ることで前のケースに帰着します。

の場合$\alpha_0}<\dots <\alpha_n$実数の場合、前のケースに帰着します。$\displaystyle \alpha _{i}'=\alpha _{i}-\alpha _{0}}$、そして定義する${\displaystyle V_{ij}'=x_{i}^{\alpha _{j}'}}$前述の事例から、${\displaystyle V'}$あらゆるマイナーな${\displaystyle V}$は、正の要素を持つ対角行列と、${\displaystyle V'}$したがって、その行列式も正の値になります。

の場合${\displaystyle \alpha _{0}=0,\dots ,\alpha _{n}=n}$（Fallat & Johnson 2011 、p. 74を参照）。 

• 複合マトリックス

• アラン・ピンカス（2009）『完全正行列』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521194082
• Fallat, Shaun M.、Johnson, Charles R. 編 (2011).完全非負行列. プリンストン応用数学シリーズ. プリンストン: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-12157-4。

• 完全正値カーネルと行列のスペクトル特性、アラン・ピンカス
• 正準基底と完全正値行列のパラメータ化、アルカディ・ベレンシュタイン
• テンソル積多重度、正準基底、および完全正多様体（2001年）、A. ベレンシュタイン、A. ゼレヴィンスキー