トポノゴフの定理

リーマン幾何学の数学分野におけるトポノゴフの定理（ヴィクトル・アンドレーヴィチ・トポノゴフにちなんで名付けられた）は、三角形の比較定理である。これは、点pから発する一対の測地線が、曲率の低い領域よりも曲率の高い領域でゆっくりと広がる という主張を定量化する比較定理の 1 つである。

M を断面曲率Kを持つm次元リーマン多様体とし、次式を満たすものとする 。pqr をM内の測地線三角形、すなわち辺が測地線である三角形とし、測地線pqが最小となり、 δ > 0であれば辺prの長さが未満となるものとする。p ′ q ′ r ′ をモデル空間M _δ、すなわち定曲率δの単連結空間内の測地線三角形とし、辺p′q′とp′r′の長さがそれぞれpqとprの長さに等しく、 p′における角度がpにおける角度に等しいものとする。すると ${\displaystyle K\geq \delta \,.}$${\displaystyle \pi /{\sqrt {\delta }}}$

${\displaystyle d(q,r)\leq d(q',r').\,}$

断面曲率が上から制限されている場合、ラウフの比較定理の系により、逆の不等式を伴う類似のステートメントが得られます^{[引用が必要]}。

• シャベル、アイザック（2006）、リーマン幾何学、現代入門（第2版）、ケンブリッジ大学出版局
• ベルガー、マルセル（2004）、リーマン幾何学のパノラマビュー、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-65317-1
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008)、Riemannian Geometry の比較定理、AMS Chelsea Publishing、Providence、RI、ISBN 978-0-8218-4417-5、MR  2394158

• Pambuccian V.、Zamfirescu T.「Paolo Pizzetti: 三角形比較幾何学の忘れられた創始者」。Hist Math 38:8 (2011)