アロンザインツリー

集合論において、アロンザイン木は、無数の高さを持ち、無数枝や無数レベルを持たない木である。例えば、すべてのススリン木はアロンザイン木である。より一般的には、基数 κに対して、κ -アロンザイン木は、高さκの木であり、すべてのレベルがκ未満の大きさを持ち、すべての枝の高さがκ未満である（したがって、アロンザイン木は -アロンザイン木と同じである）。これらは、1934 年にアロンザイン木を構築したNachman Aronszajnにちなんで名付けられ、彼の構築は Kurepa (1935) によって説明された。 ${\displaystyle \aleph_{1}}$

κ -アロンザイン木が存在しない基数κ は木の性質を持つと言われる（ κ が正則 かつ非可算であるという条件が含まれることもある）。

ケーニッヒの補題 によれば、-Aronszajn 木は存在しない。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$

アロンザイン木 (-アロンザイン木) の存在はナフマン・アロンザインによって証明され、ケーニッヒの補題の類似が無数木には当てはまらないことを意味しています。 ${\displaystyle =\aleph_{1}}$

-Aronszajn 木の存在はZFC では決定不可能です。より正確には、連続体仮説は-Aronszajn 木の存在を意味し、Mitchell と Silver は、 -Aronszajn 木が存在しないことは (弱コンパクト基数の存在と比較して)一貫していることを示しました。 ${\displaystyle \aleph_{2}}$${\displaystyle \aleph_{2}}$${\displaystyle \aleph_{2}}$

ジェンセンは、 V = L は、すべての無限後続基数 κに対してκ -アロンザイン木（実際にはκ -サスリン木）が存在することを意味することを証明しました。

Cummings & Foreman (1998) は、(大基数公理を使用して) 1 以外の 有限のnに対しては -Aronszajn 木が存在しないことが一貫していることを示しました。${\displaystyle \aleph_{n}}$

κが弱コンパクトである場合、 κ -Aronszajn 木は存在しません。逆に、κ がアクセス不可能であり、κ -Aronszajn 木が存在しない場合、κ は弱コンパクトです。

アロンザイン木が特殊であるとは、木から有理数への 関数fが存在し、 x  <  yのときはいつでもf ( x ) <  f ( y )となる場合です。マーティンの公理MA( ) は、すべてのアロンザイン木が特殊であることを意味します。この命題はEATSと略されることもあります。より強い適切な強制公理は、任意の 2 つのアロンザイン木に対して、このレベルのセットへの木の制限が同型であるようなレベルのクラブセットが存在するというより強い命題を意味します。これは、ある意味で任意の 2 つのアロンザイン木が本質的に同型であることを意味します (Abraham & Shelah 1985)。一方、特殊でないアロンザイン木が存在することは一貫しており、これは一般化連続体仮説とSuslin の仮説とも一貫しています(Schlindwein 1994)。 ${\displaystyle \aleph_{1}}$

特別な Aronszajn ツリーは次のように構築できます。

ツリーの要素は、有理数または -∞ を上限とする、整然とした有理数の集合です。xとy がこれらの集合の 2 つである場合、ツリーの順序でx  ≤  yと定義して、 x が順序付き集合yの最初のセグメントである ことを示します。可算な順序数 α ごとに、レベル α のツリーの要素をU _αと書きます。つまり、U _αの要素は、順序タイプ α を持つ有理数の集合です。特殊な Aronszajn ツリーT は、すべての可算な α に対する 集合U _{αの和集合です。}

次のように、空集合U ₀から始めて、 α 上の超限帰納法によって可算レベルU _{α を}構築します。

• α  + 1 が後続数である場合、 U _{α +1 は、 sup} xより大きい有理数によるU _α内のシーケンスxのすべての拡張で構成されます。U _{α  + 1は、} U _α内の可算個の各要素の可算個の拡張で構成されるため、可算です。
• αが極限であれば、 T _{α を}α未満のレベルにあるすべての点のツリーとします。T _α内の各xと、上限xより大きい各有理数qに対して、上限qを持つxを含むT _αのレベルα の枝を選択します。すると、U _{α は}これらの枝から構成されます。U _αは、 T _α内の可算な数の要素のそれぞれに対して可算な数の枝から構成されるため、可算です。

関数f ( x ) = sup  xは有理数または −∞ であり、x  <  yの場合にf ( x ) <  f ( y ) という特性を持ちます。 Tの任意の枝は可算です。これは、 f が枝を −∞ と有理数に入射的に写すためです。T は、最初の不可算順序数を構成する可算順序数αごとに空でないレベルU _αを持つため、不可算です。これは、 Tが特別なアロンザイン木である ことを証明します。

この構成は、 κ が正規基数の後継であり、一般化連続体仮説が成り立つ場合はいつでも、有理数をより一般的なη集合に置き換えることによって、 κ -アロンザイン木を構築するために使用できます。

• クレパの木
• アロンザイン線

• アブラハム、ウリ; シェラ、サハロン (1985)、「アロンザイン木の同型型」、イスラエル数学ジャーナル、50 : 75–113、doi : 10.1007/BF02761119
• カミングス、ジェームズ; フォアマン、マシュー (1998)、「ツリー特性」、Advances in Mathematics、133 (1): 1–32、doi : 10.1006/aima.1997.1680、MR  1492784
• クネン、ケネス（2011）、集合論、論理学研究、第34巻、ロンドン：カレッジ出版、ISBN 978-1-84890-050-9、Zbl  1262.03001
• Kurepa, G. (1935)、「Ensembles ordonnés et ramifiés」、Publ.数学。大学ベオグラード、4 : 1–138、JFM  61.0980.01、Zbl  0014.39401
• シュリンドヴァイン、チャズ (1994)、「スースリンの仮説、非特殊アロンザイン木、および GCH の一貫性」、Journal of Symbolic Logic、59 (1)、The Journal of Symbolic Logic、Vol. 59、No. 1: 1–29、doi :10.2307/2275246、JSTOR  2275246
• Schlindwein, Ch. (2001) [1994]、「Aronszajn tree」、数学百科事典、EMS Press
• シュリンドヴァイン、チャズ (1989)、「特殊非特殊-trees」、集合論とその応用、1401 : 160–166、doi :10.1007/BFb0097338${\displaystyle \aleph_{1}}$
• Todorčević, S. (1984)、「木と線形順序集合」、集合論的位相学ハンドブック、アムステルダム: 北ホラント、pp. 235–293、MR  0776625

• プラネットマス