応力強度係数

破壊力学では、応力集中係数（K）は、遠隔荷重または残留応力によって引き起こされる亀裂またはノッチの先端近くの応力状態（「応力集中」）を予測するために使用されます。^{[1]これは、通常、均質で線形の}弾性材料 に適用される理論的構成であり、脆性材料の破壊基準を提供するのに役立ち、損傷許容度の分野で重要な技術です。この概念は、亀裂の先端で 小規模な降伏を示す材料にも適用できます。

Kの大きさは、試験片の形状、亀裂やノッチの大きさと位置、材料にかかる荷重の大きさと分布によって異なります。次のように表すことができます。^{[2] [3]}

${\displaystyle K=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,f(a/W)}$

ここで、は亀裂長さaと試験片幅Wに依存する試験片形状の関数であり、σは印加応力です。 ${\displaystyle f(a/W)}$

線形弾性理論によれば、き裂先端近傍の応力分布（ ）は、き裂先端を原点とする極座標（）において、次の形をとると予測される^[4]。${\displaystyle \sigma_{ij}}$${\displaystyle r,\theta }$

${\displaystyle \sigma _{ij}(r,\theta )={\frac {K}{\sqrt {2\pi r}}}\,f_{ij}(\theta )+\,\,{\rm {高次\,次数\,項}}}$

ここで、Kは応力集中係数（単位は応力 × 長さの^1/2）であり、荷重と形状によって変化する無次元量です。理論的には、r が0 に近づくと、応力は になり、応力特異点が生じます。^[5]ただし実際には、この関係は先端（rが小さい）に非常に近いところでは崩れます。これは、塑性は通常、材料の降伏強度を超える応力で発生し、線形弾性解は適用できなくなるためです。それでも、亀裂先端の塑性領域が亀裂長さに比べて小さい場合は、亀裂先端近くの漸近応力分布が依然として適用可能です。 ${\displaystyle f_{ij}}$${\displaystyle \sigma_{ij}}$${\displaystyle \infty}$

1957年、G.アーウィンは、亀裂の周りの応力が応力集中係数と呼ばれる尺度係数で表せることを発見しました。彼は、任意の荷重を受ける亀裂を、3種類の線形独立亀裂モードに分解できることを発見しました。^[6]これらの荷重タイプは、図に示すようにモードI、II、またはIIIに分類されます。モードIは、亀裂表面が直接離れる開口（引張）モードです。モードIIは、亀裂表面が亀裂の前縁に垂直な方向に互いに滑り合う滑り（面内せん断）モードです。モードIIIは、亀裂表面が互いに対して、かつ亀裂の前縁に平行に移動する引き裂き（面外せん断）モードです。モードIは、工学設計で遭遇する最も一般的な荷重タイプです。

3つの異なるモードの応力拡大係数を指定するために、異なる下付き文字が使用される。モードIの応力拡大係数は、亀裂開口モードに指定され適用される。モードIIの応力拡大係数は、亀裂滑りモードに適用され、モードIIIの応力拡大係数は、引き裂きモードに適用される。これらの係数は、正式には次のように定義される。^[7]${\displaystyle K_{\rm {I}}}$${\displaystyle K_{\rm {II}}}$${\displaystyle K_{\rm {III}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yy}(r,0)\\K_{\rm {II}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yx}(r,0)\\K_{\rm {III}}&=\lim _{r\rightarrow 0}{\sqrt {2\pi r}}\,\sigma _{yz}(r,0)\,.\end{aligned}}}$

平面応力条件では、純粋モードIまたは純粋モードII荷重下の亀裂の ひずみエネルギー解放率（ ）は、応力集中係数と次のように関係します。${\displaystyle G}$

${\displaystyle G_{\rm {I}}=K_{\rm {I}}^{2}\left({\frac {1}{E}}\right)}$

${\displaystyle G_{\rm {II}}=K_{\rm {II}}^{2}\left({\frac {1}{E}}\right)}$

ここで、はヤング率、は材料のポアソン比です。材料は等方性、均質、線形弾性体であると仮定します。亀裂は初期亀裂の方向に沿って伸びると仮定します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \nu }$

平面ひずみ条件の場合、同等の関係はもう少し複雑になります。

${\displaystyle G_{\rm {I}}=K_{\rm {I}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)\,}$

${\displaystyle G_{\rm {II}}=K_{\rm {II}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)\,.}$

純粋なモードIII負荷の場合、

${\displaystyle G_{\rm {III}}=K_{\rm {III}}^{2}\left({\frac {1}{2\mu }}\right)=K_{\rm {III}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)}$

ここで、せん断弾性係数です。平面ひずみにおける一般的な荷重の場合、線形結合は次のようになります。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle G=G_{\rm {I}}+G_{\rm {II}}+G_{\rm {III}}\,.}$

3 つのモードの寄与を加算すると、平面応力についても同様の関連が得られます。

上記の関係は、J積分と応力拡大係数 を結び付けるためにも使用できる。

${\displaystyle G=J=\int _{\Gamma }\left(W~dx_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~ds\right)\,.}$

応力拡大係数 は、幾何学的パラメータ (荷重タイプ) を含む適用応力の大きさを増幅するパラメータです。どのモード状況でも、応力拡大係数は材料に適用された荷重に正比例します。材料に非常に鋭い亀裂または Vノッチができる場合、 の最小値を経験的に決定できます。これは亀裂を伝播させるために必要な応力拡大係数の臨界値です。平面ひずみでのモード I 荷重に対して決定されるこの臨界値は、材料の臨界破壊靭性 ( ) と呼ばれます。 の単位は、応力に距離の平方根を掛けたものです (例: MN/m ^3/2 )。 の単位は、に達して亀裂伝播が発生するためには、材料の破壊応力が何らかの臨界距離で達する必要があることを意味します。モード I 臨界応力拡大係数 は、破壊力学で最も頻繁に使用される工学設計パラメータであるため、橋梁、建物、航空機、さらには鐘に使用される破壊耐性材料を設計する場合は理解しておく必要があります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle K_{\mathrm {I} }}$${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$${\displaystyle K_{\mathrm {Ic} }}$

研磨では亀裂を検出できません。通常、亀裂が見られる場合、それは応力集中係数によって予測される臨界応力状態に非常に近いです^[要出典]。

G基準は、臨界応力拡大係数（または破壊靭性）を3つのモードの応力拡大係数に関連付ける破壊基準です。この破壊基準は次のように記述されます^[8]

${\displaystyle K_{\rm {c}}^{2}=K_{\rm {I}}^{2}+K_{\rm {II}}^{2}+{\frac {E'}{2\mu }}\,K_{\rm {III}}^{2}}$

ここで、は平面ひずみに対する破壊靭性、は平面応力に対する破壊靭性です。平面応力の臨界応力拡大係数は、 と表記されることが多いです。 ${\displaystyle K_{\rm {c}}}$${\displaystyle E'=E/(1-\nu ^{2})}$${\displaystyle E'=E}$${\displaystyle K_{\rm {c}}}$

亀裂間隔が亀裂長さよりもはるかに大きい場合（h >> a）、隣接する亀裂間の相互作用効果は無視でき、応力集中係数は長​​さ 2a の単一亀裂の応力集中係数と等しくなります。

すると、亀裂先端の応力拡大係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {\pi a}}\end{aligned}}}$

亀裂の長さが間隔よりもはるかに大きい場合 (a >> h )、亀裂は半無限亀裂のスタックと見なすことができます。

すると、亀裂先端の応力拡大係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\rm {I}}&=\sigma {\sqrt {h}}\end{aligned}}}$

• 破壊力学
• 破壊靭性
• ひずみエネルギー放出率
• J積分
• 材料破壊理論
• パリの法則

• Kathiresan, K. ; Hsu, TM ; Brussat, TR, 1984, 高度な寿命解析法。第 2 巻。アタッチメント ラグの亀裂成長解析法
• www.fracturemechanics.org の応力集中係数、Bob McGinty 著