純粋部分モジュール

数学、特に加群理論の分野では、純粋部分加群の概念は、加群の特に性質の良い部分の一種である直和因子の一般化を提供する。純粋加群は平坦加群と相補的であり、プリューファーの純粋部分群の概念を一般化する。平坦加群は、短い完全列をテンソル化しても完全のままにする加群であるのに対し、純粋部分加群は、任意の加群とテンソル化しても完全のままとなる短い完全列（純粋完全列として知られる）を定義する。同様に、平坦加群は射影加群の直極限であり、純粋完全列は分割完全列の直極限である。

させて${\displaystyle R}$環である（結合的、${\displaystyle 1}$）、 させて${\displaystyle M}$（左）モジュールである${\displaystyle R}$、そして${\displaystyle P}$サブモジュールである${\displaystyle M}$と${\displaystyle \iota \colon P\hookrightarrow M}$自然な単射写像とする。${\displaystyle P}$は純粋部分モジュールです${\displaystyle M}$もし、いかなる（権利）に対しても${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle X}$自然誘導マップ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\otimes _{R}\iota \colon X\otimes _{R}P\to X\otimes _{R}M}$単射である。

同様に、短い正確なシーケンス

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

（左）${\displaystyle R}$-modules は、任意の (右) とテンソル化してもシーケンスが正確である場合、純粋に正確です。${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle X}$これは、${\displaystyle f(A)}$は純粋部分モジュールです${\displaystyle B}$。

部分モジュールの純粋性は要素ごとに表現することもできます。これは実際には、特定の線形方程式系の可解性に関する記述です。具体的には、${\displaystyle P}$純粋である${\displaystyle M}$以下の条件が成り立つ場合に限ります。${\displaystyle m}$-による-${\displaystyle n}$マトリックス${\displaystyle (a_{ij})}$エントリーを含む${\displaystyle R}$、そして任意のセット${\displaystyle y_{1},\cdots ,y_{m}}$要素の${\displaystyle P}$要素が存在する場合${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$で${\displaystyle M}$そのため

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots ,m}$

すると、要素も存在する${\displaystyle x'_{1},\cdots ,x'_{n}}$で${\displaystyle P}$そのため

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots ,m}$

別の特徴付けとしては、数列が純粋完全数列であるのは、それが分割完全数列のフィルター付き余極限（直接極限とも呼ばれる）である場合に限る、というものがあります。

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.}$^{[ 1 ]}

• Mのすべての直和因子はMにおいて純粋である。したがって、体上のベクトル空間のすべての部分空間は純粋である。

仮定する ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$ は短い正確なシーケンスです${\displaystyle R}$-モジュール、次に：

1. ${\displaystyle C}$は、完全シーケンスがすべてのに対して純粋完全である場合に限り、平坦モジュールである。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$このことから、フォン・ノイマン正則環上では、すべての部分加群が${\displaystyle R}$-加群は純粋である。これは、フォン・ノイマン正則環上のすべての加群が平坦であるためである。逆もまた真である。^{[ 2 ]}
2. 仮定する${\displaystyle B}$は平坦である。このとき、数列は純粋完全であるのは、次の場合に限る。${\displaystyle C}$は平坦である。このことから、平坦な加群の純粋部分加群は平坦であると推論できる。
3. 仮定する${\displaystyle C}$平らです。${\displaystyle B}$平坦であるのは、${\displaystyle A}$平らです。

もし ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$ 純粋に正確であり、${\displaystyle F}$有限表示${\displaystyle R}$-モジュール、次にからのすべての準同型${\displaystyle F}$に${\displaystyle C}$持ち上げることができます${\displaystyle B}$つまり、すべての${\displaystyle u\colon F\to C}$存在する${\displaystyle v\colon F\to B}$そのため${\displaystyle gv=u}$。

• フックス、ラースロー（2015）、『アーベル群』、シュプリンガー・モノグラフ・イン・マセマティクス、シュプリンガー、ISBN 9783319194226
• ラム、ツィットユエン（1999）、『加群と環に関する講義』、大学院数学テキスト第189巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​