ピッチスペース

音楽理論では、ピッチ空間はピッチ間の関係をモデル化します。これらのモデルでは通常、距離を使用して関連性の度合いをモデル化し、関連の深いピッチは互いに近くに配置され、関連の浅いピッチは互いに離れます。検討中の関係の複雑さに応じて、モデルは多次元になる場合があります。ピッチ空間のモデルは、多くの場合、グラフ、グループ、格子、またはらせんなどの幾何学的図形です。ピッチ空間は、オクターブに関連するピッチを区別します。オクターブに関連するピッチが区別されていない場合は、代わりにピッチクラス空間があり、これはピッチクラス間の関係を表します。(これらのモデルの一部は、変調空間のエントリで説明されていますが、読者は、「変調空間」という用語は標準的な音楽理論用語ではないことに注意してください。)和音空間は、コード間の関係をモデル化します。

最も単純なピッチ空間モデルは実数直線である。基本周波数fは、次の式に従って 実数pにマッピングされる。

${\displaystyle p=69+12\cdot \log _{2}{(f/440)}\,}$

これにより、オクターブのサイズが 12、半音 (ピアノのキーボード上の隣接するキー間の距離) のサイズが 1、中央の C にMIDIと同じように 60 という数字が割り当てられる線形空間が作成されます。440 Hz は「コンサート A」の標準周波数で、「中央の C」より 9 半音上の音符です。この空間の距離は、鍵盤楽器の物理的な距離、西洋音楽記譜法の正書法上の距離、心理学実験で測定され音楽家によって考案された心理的な距離に対応します。このシステムは、標準的なピアノのキーボードにはない「微分音」を含めるほど柔軟です。たとえば、C (60) と C# (61) の中間の音程は 60.5 とラベル付けできます。

線形ピッチ空間の問題の 1 つは、オクターブに関連するピッチ、または同じピッチ クラスを共有するピッチ間の特別な関係をモデル化しないことです。このため、モーリッツ ヴィルヘルム ドロビッシュ(1846) やロジャー シェパード(1982)などの理論家は、らせんを使用してピッチ関係をモデル化しました。これらのモデルでは、線形ピッチ空間が円筒の周りに巻き付けられ、オクターブに関連するすべてのピッチが 1 本の線に沿って並びます。これらのモデルを解釈するときは注意が必要です。らせんを含む 3 次元空間での「距離」をどのように解釈するかが明確ではないためです。また、らせん自体に含まれない 3 次元空間内の点をどのように解釈するかも明確ではありません。

他の理論家、例えばレオンハルト・オイラー(1739)、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ(1863/1885)、アルトゥール・フォン・エッティンゲン(1866)、フーゴ・リーマン(数学者のベルンハルト・リーマンと混同しないでください)、クリストファー・ロンゲ＝ヒギンズ(1978) などは、トネッツの名で、2次元 (またはより高次元) の格子を使用してピッチの関係をモデル化しました。これらのモデルでは、通常、1 つの次元は音響的に純粋な完全5度に対応し、もう 1 つは長 3 度に対応します (1 つの軸が音響的に純粋な短 3 度に対応するバリエーションも可能です)。追加の次元を使用して、最も一般的なオクターブを含む追加の音程を表すことができます。

これらのモデルはすべて、オクターブ、完全五度、長三度などの音響的に純粋な音程で区切られた音程が、知覚的に密接に関連していると考えられるという事実を捉えようとしています。しかし、これらの空間での近接性は、楽器の物理的な近接性を表す必要はありません。バイオリンの弦の上で手を非常に短い距離動かすだけで、これらの多次元モデルで任意の距離を移動できます。このため、これらの格子によって測定される距離の心理的関連性を評価すること^{は困難です}。

ピッチ空間の考え方は、少なくともハーモニストとして知られる古代ギリシャの音楽理論家まで遡ります^[要出典]。彼らの一人であるバッキウスの言葉を引用します。「では、ダイアグラムとは何か? 音楽システムの表現である。そして、ダイアグラムを使うのは、その分野の学生にとって、耳で理解するのが難しい事柄が目の前に現れるようにするためである」(バッキウス、フランクリン著『古代ギリシャの全音階音楽』 )。ハーモニストは、さまざまな音階の音程を視覚的に比較できるように幾何学的な図を描き、それによって音程をピッチ空間に配置しました。

高次元ピッチ空間も長い間研究されてきました。オイラー (1739) は、完全五度と長三度の軸を使用して純正律をモデル化するために格子の使用を提案しました。同様のモデルは、主にエッティンゲンやリーマン(Cohn 1997) などの理論家によって 19 世紀に熱心に研究されました。ジェームズ テニー(1983) ^[1]やWA マシュー(1997)などの現代の理論家はこの伝統を引き継いでいます。

モーリッツ・ヴィルヘルム・ドロビッシュ(1846) は、オクターブの等価性と反復性 (Lerdahl、2001) を表す螺旋(すなわち五度音階の螺旋)を初めて提案し、ピッチ空間のモデルを提示しました。ロジャー・シェパード(1982) はドロビッシュの螺旋を正規化し、五度音階の 2 つの全音階の二重螺旋に拡張し、これを「旋律マップ」と呼んでいます (Lerdahl、2001)。マイケル・テンツァーは、オクターブが 2:1 ではないため、西洋の調性音楽よりもオクターブの等価性が低いため、バリ島のガムラン音楽にこの螺旋を使用することを提案しています(Tenzer、2000)。クロマチック サークルも参照してください。

19 世紀以来、ピッチ空間に基づいて同型キーボードを設計する試みが数多く行われてきました。これまでに普及したのは、いくつかのアコーディオンレイアウトだけです。

• トネッツ
• スパイラルアレイモデル
• 全音集合論
• 不協和音の解放
• 統一分野
• 母音スペース
• 色空間

• コーン、リチャード (1997)。新リーマン演算、簡素な三和音、およびその「トネッツ」表現。音楽理論ジャーナル、41.1: 1-66。
• フランクリン、ジョン・カーティス（2002年）。『古代ギリシャの全音階音楽：その古代性の再評価』メメノシュネ、56.1（2002年）、669-702。
• ラーダール、フレッド（2001年）。Tonal Pitch Space、pp.42-43。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-505834-8 。
• Mathieu, WA (1997)。『ハーモニック・エクスペリエンス：自然な起源から現代的表現までの調性ハーモニー』Inner Traditions Intl Ltd. ISBN 0-89281-560-4。 
• テニー、ジェームズ（1983）。ジョン・ケージとハーモニーの理論。
• テンザー、マイケル（2000年）。『ガムラン・ゴング・クビャール：20世紀バリ音楽の芸術』シカゴ：シカゴ大学出版局。ISBN 0-226-79281-1。 

• ストラウス、ジョセフ。(2004)ポスト調性理論入門。プレンティスホール。ISBN 0-13-189890-6。 
• ワナメーカー、ロバート。ジェイムズ・テニーの音楽、第1巻：文脈とパラダイム（イリノイ大学出版、2021年）。

• 7つの極限格子
• テニースペース
• キーススペース
• MW ドロビッシュ インターヴァッレの数学的傑作