スパイラルアレイモデル

音楽理論において、スパイラル配列モデルは拡張されたタイプのピッチ空間です。同心円状のらせん（「スパイラルの配列」）を含む数学モデルであり、同じ幾何学的空間におけるピッチ、コード、キーの人間の知覚を表します。これは、2000年にエレイン・チューがMITの博士論文「調性の数学的モデルに向けて」で提案しました。^[1]チューと他の人によるさらなる研究により、スパイラル配列モデルの修正が行われ、キーの検索（記号と音声^{[2] [3]}）、ピッチのスペル、^{[4] [5] [6] [7]}調性のセグメンテーション、^{[8] [9]}類似性の評価、^[10]音楽のユーモアなど、音楽理論と実践のさまざまな問題に適用されました。^[11]拡張とアプリケーションについては、「調性の数学的および計算モデル化：理論とアプリケーション」で説明されています。^[12]

スパイラル配列モデルは、ピッチを 2 次元の格子 (配列) 構造にマッピングする一般化されたトネッツと見なすことができます。スパイラル配列は、2 次元のトネッツを3 次元の格子に包み込み、格子空間の内部にコードやキーなどの高次構造をモデル化します。これにより、スパイラル配列モデルは、低レベル構造と高レベル構造の関係を幾何学的に解釈することができます。たとえば、スパイラル配列空間内の点として表される特定のピッチと特定のキーの間の距離を幾何学的にモデル化して測定することができます。音楽的には機能と使用法において A# ≠ Bb であるため、ピッチの綴りを維持するために、スパイラル配列は異名同音の等価性を想定せず、つまりトーラスに折り畳みません。ピッチ間、コード間、キー間の空間関係は、他の音階空間の表現と一致します。^[13]

このモデルとそのリアルタイムアルゴリズムは、音色可視化ソフトウェアMuSA.RT ^{[14] [15]}（Music on the Spiral Array . Real-Time）と無料アプリMuSA_RT ^[16]に実装されており、どちらも音楽教育ビデオ^{[17] [18]やライブパフォーマンス[19] [ 20} ]で使用されています。^[21]

提案されたモデルは、5 つの同心らせん上に表される基本ピッチ、メジャーコード、マイナーコード、メジャーキー、マイナーキーをカバーします。ピッチらせんの定式化から始めて、内側のらせんは外側のらせん上の点の凸結合として生成されます。たとえば、ピッチ C、E、G は、三角形の輪郭を描く直交座標点P (0)、P (1)、P (4) (次のセクションの定義を参照) として表されます。これら 3 つの点の凸結合は三角形内の点であり、その効果の中心( ce ) を表します。この内部の点C _M (0) は、スパイラル配列モデルの C メジャーコードを表します。同様に、キーは I、IV、V コードの効果の中心によって構築できます。

• 外側のらせんはピッチ クラスを表します。隣接するピッチ クラスは、完全 5 度、空間的には 1/4 回転の音楽音程離れています。ピッチ クラスの順序は、5 度線によって決定できます。たとえば、C の次は G (C と G は完全 5 度離れています)、その次は D (G と D は完全 5 度離れています) などになります。この構造の結果、およびその選択につながる重要な特性の 1 つとして、垂直の隣接音は長 3 度離れた音楽音程になります。したがって、ピッチ クラスの最も近い隣接音とそれ自体は、完全 5 度と長 3 度の音程を形成します。
• らせんに沿って連続する三和音をすべて取り、その効果の中心を接続すると、ピッチらせんの内側に 2 番目のらせんが形成され、メジャーコードを表します。
• 同様に、適切な短三和音を取り、その効果の中心を接続すると、短和音を表す 3 番目のらせんが形成されます。
• メジャーキーの螺旋は、I、IV、Vコードの効果の中心によって形成されます。
• マイナーキーのヘリックスは、i、iv/IV、および V/v コードの同様の組み合わせを接続することによって形成されます。

Chew のモデルでは、ピッチクラスヘリックス Pは、次のようにパラメトリック形式で表されます。

${\displaystyle P(k)={\begin{bmatrix}x_{k}\\y_{k}\\z_{k}\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin(k\cdot \pi /2)\\r\cos(k\cdot \pi /2)\\kh\end{bmatrix}}}$ ここで、kは五度線に沿った C からのピッチの距離を表す整数、rは螺旋の半径、h は螺旋の「上昇」です。

メジャーコードのらせん C _{M は}次のように表されます。

${\displaystyle C_{M}(k)=w_{1}\cdot P(k)+w_{2}\cdot P(k+1)+w_{3}\cdot P(k+4)}$

ここで、および。 ${\displaystyle w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0}$${\textstyle \sum _{i=1}^{3}w_{i}=1}$

重み「w」は、効果の中心が和音の基本音、長三度、完全五度にどれだけ近いかに影響します。これらの重みの相対値を変更することで、スパイラル配列モデルは、結果として得られる和音が 3 つの構成音にどれだけ「近い」かを制御します。一般的に西洋音楽では、和音の識別において基本音に最大の重みが与えられ (w1)、次に五度 (w2)、三度 (w3) の順になります。

マイナーコードのらせんC _{m は}次のように表されます。

${\displaystyle C_{m}(k)=u_{1}\cdot P(k)+u_{2}\cdot P(k+1)+u_{3}\cdot P(k-3)}$

どこでそして${\displaystyle u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}u_{i}=1.}$

重み「u」はメジャーコードと同様に機能します。

主要なキーヘリックス T _Mは次のように表されます。

${\displaystyle T_{M}(k)=\omega _{1}\cdot C_{M}(k)+\omega _{2}\cdot C_{M}(k+1)+\omega _{3}\cdot C_{M}(k-1)}$

ここで、および。 ${\displaystyle \omega _{1}\geq \omega _{2}\geq \omega _{3}>0}$${\textstyle \sum _{i=1}^{3}\omega _{i}=1}$

構成ピッチが生成するコードの効果の中心にどれだけ近いかを制御する重みと同様に、重みは、結果のキーにどれだけ近いかを決定する際に I、IV、および V コードの相対的な効果を制御します。 ${\displaystyle \omega }$

マイナーキーヘリックス T _{m は}次のように表されます。

${\displaystyle T_{m}(k)=\nu _{1}\cdot C_{m}(k)+\nu _{2}\cdot (\alpha \cdot C_{M}(k+1)+(1-\alpha )\cdot C_{m}(k+1))+\nu _{3}\cdot (\beta *C_{m}(k-1)+(1-\beta )\cdot C_{M}(k-1)).}$

ここで、およびおよびおよび。 ${\displaystyle \nu _{1}\geq \nu _{2}\geq \nu _{3}>0}$${\displaystyle \nu _{1}+\nu _{2}+\nu _{3}=1}$${\displaystyle 0\geq \alpha \geq 1}$${\displaystyle \beta \geq 1}$

• Chew, Elaine (2014)。調性の数学的および計算的モデリング：理論と応用。オペレーションズ・リサーチ＆マネジメント・サイエンスの国際シリーズ。Springer。ISBN 978-1-4614-9474-4。
• Chew, Elaine (2000)。調性の数学的モデルに向けて(Ph.D.)。マサチューセッツ工科大学。hdl : 1721.1/9139。
• メーガン・スワン (2014 年 12 月 12 日)。See What You Hear。3 分 41 秒。Inside the Music。ロサンゼルス・フィルハーモニック。
• Eric Mankin (2010 年 1 月 20 日)。エンジニア兼ピアニストの Elaine Chew が、数学とソフトウェア ツールを使用した音楽分析について語ります。5 分 49 秒。Viterbi。南カリフォルニア大学。
• フランソワ、アレクサンドル (2012). 「MuSA_RT」. iTunes .、MIDI 入力用のスパイラル配列モデルを実装し、アニメーション化する無料の Mac アプリです。