スコロホッドの埋め込み定理

数学と確率論において、スコロホッドの埋め込み定理は、ランダム変数の任意の適切な集合を停止時間の集合で評価されたウィーナー過程(ブラウン運動)と見なすことを可能にする2 つの定理のうちの1 つまたは両方です。両方の結果は、ウクライナの数学者A. V. スコロホッドにちなんで名付けられました。

X を期待値0 および有限分散を持つ実数値ランダム変数とし、W を標準実数値ウィーナー過程とします。すると、 W _{τ が}Xと同じ分布を持つような停止時間τ （ Wの自然濾過に関して）が存在し、

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau ]=\operatorname {E} [X^{2}]}$

そして

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau ^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X^{4}].}$

X ₁、X _{2 、...をそれぞれ期待値0で有限分散を持つ}独立かつ同一分布のランダム変数の列とし、

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$

すると、停止時刻のシーケンスτ ₁ ≤ τ ₂ ≤ ...が存在し、それらは部分和S _nと同じ結合分布を持ち、 τ ₁、τ ₂ − τ ₁、τ ₃ − τ ₂、...は独立かつ同一分布するランダム変数であり、次式を満たす。 ${\displaystyle W_{\tau _{n}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau _{n}-\tau _{n-1}]=\operatorname {E} [X_{1}^{2}]}$

そして

${\displaystyle \operatorname {E} [(\tau _{n}-\tau _{n-1})^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X_{1}^{4}]。 }$

• ビリングスリー、パトリック（1995年）。確率と測定。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-00710-2。（定理37.6、37.7）