シャーマン・モリソン公式

線形代数において、ジャック・シャーマンとウィニフレッド・J・モリソンにちなんで名付けられたシャーマン・モリソン公式は、逆行列が既に計算されている行列に対する「ランク-1更新」の逆行列を計算します。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}つまり、可逆行列が与えられた場合、${\displaystyle A}$そして外側の製品$\displaystyle uv^{\textsf {T}}}$ベクトルの${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v,}$この式は更新された行列の逆行列を安価に計算します${\textstyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right){\vphantom {)}}^{\!-1}.}$

シャーマン・モリソン公式はウッドベリー公式の特殊なケースである。シャーマンとモリソンにちなんで名付けられたが、それ以前の出版物にも既に登場していた。^{[ 4 ]}

仮定する$\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$は可逆な正方行列であり、$\displaystyle u,v\in \mathbb {R} ^{n}}$は列ベクトルです。${\displaystyle A+uv^{\textsf {T}}}$可逆であるのは、${\displaystyle 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u\neq 0}$。 この場合、

${\displaystyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=A^{-1}-{A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}.}$

ここ、$\displaystyle uv^{\textsf {T}}}$2つのベクトルの外積${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$ここに示した一般的な形式は、バートレットによって発表されたものである。^{[ 5 ]}

（${\displaystyle \Leftarrow }$逆方向を証明する${\displaystyle 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u\neq 0\Rightarrow A+uv^{\textsf {T}}}$行列が可逆である（逆行列は上記のように与えられる）ことが真である場合、逆行列の性質を検証します。${\displaystyle Y}$（この場合、シャーマン・モリソン公式の右辺）は行列の逆行列である${\displaystyle X}$（この場合${\displaystyle A+uv^{\textsf {T}}}$) の場合に限り${\displaystyle XY=YX=I}$。

まず右辺（${\displaystyle Y}$) を満たす${\displaystyle XY=I}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}XY&=\left(A+uv^{\textsf {T}}\right)\left(A^{-1}-{A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\right)\\[6pt]&=AA^{-1}+uv^{\textsf {T}}A^{-1}-{AA^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1}+uv^{\textsf {T}}A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\\[6pt]&=I+uv^{\textsf {T}}A^{-1}-{uv^{\textsf {T}}A^{-1}+uv^{\textsf {T}}A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\\[6pt]&=I+uv^{\textsf {T}}A^{-1}-{u\left(1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u\right)v^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\\[6pt]&=I+uv^{\textsf {T}}A^{-1}-uv^{\textsf {T}}A^{-1}\\[6pt]&=I\end{aligned}}}$

この方向の証明を終えるには、次のことを示す必要があります。${\displaystyle YX=I}$上記と同様の方法で：

${\displaystyle YX=\left(A^{-1}-{A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1} \over 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}\right)(A+uv^{\textsf {T}})=I.}$

（実際には、正方行列の場合は最後のステップは省略できます。）${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、${\displaystyle XY=I}$と同等${\displaystyle YX=I}$）

（${\displaystyle \Rightarrow }$逆に、${\displaystyle 1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u=0}$そして、行列式補題を通して、${\displaystyle \det \!\left(A+uv^{\textsf {T}}\right)=(1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u)\det(A)=0}$、 それで${\displaystyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)}$可逆ではありません。

逆数${\displaystyle A}$は既に知られているので、この式は逆数を計算するための数値的に安価な方法を提供する。${\displaystyle A}$行列によって補正${\displaystyle uv^{\textsf {T}}}$（視点によっては、この修正は摂動またはランク1更新と見なすことができる）。逆行列は比較的安価であるため、計算コストは​​低い。${\displaystyle A+uv^{\textsf {T}}}$ゼロから計算する必要はなく（一般的にコストがかかる）、修正（または摂動）することで計算できる。${\displaystyle A^{-1}}$。

単位列（単位行列の列）を使用して${\displaystyle u}$または${\displaystyle v}$個々の列または行${\displaystyle A}$は操作可能であり、それに応じて更新された逆行列は、この方法で比較的安価に計算できる。^{[ 6 ]}一般的な場合、${\displaystyle A^{-1}}$は${\displaystyle n}$-による-${\displaystyle n}$行列と${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$は次元の任意のベクトルです${\displaystyle n}$行列全体が更新され^{[ 5 ]}、計算には${\displaystyle 3n^{2}}$スカラー乗算。^{[ 7 ]}もし${\displaystyle u}$単位列であるため、計算にはわずかしかかかりません。${\displaystyle 2n^{2}}$スカラー乗算。${\displaystyle v}$は単位列です。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$単位列であるため、計算にはわずか${\displaystyle n^{2}}$スカラー乗算。

この公式は理論物理学にも応用されている。具体的には、量子場理論において、この公式を用いてスピン1場のプロパゲーターを計算する。^{[ 8 ]}逆プロパゲーター（ラグランジアンに現れるもの）は次の形式をとる。${\displaystyle A+uv^{\textsf {T}}}$スピン1場を含む摂動計算^{[ 9 ]}を実行するために必要な逆伝播関数（または単に（ファインマン）伝播関数）の逆（特定の時間順序境界条件を満たす）を計算するには、シャーマン・モリソン公式を使用します。

この公式の問題の1つは、その数値的安定性についてほとんど知られていないことです。その誤差範囲に関する公表された結果はありません。逸話的な証拠^{[ 10 ]}は、ウッドベリー行列恒等式（シャーマン・モリソン公式の一般化）が、一見無害な例（元の行列と修正された行列の両方が良好な条件である場合）でも発散する可能性があることを示唆しています。

以下は、容易に検証可能な恒等式を用いたシャーマン・モリソン公式の別の検証方法である。

${\displaystyle \left(I+wv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=I-{\frac {wv^{\textsf {T}}}{1+v^{\textsf {T}}w}}}$。

させて

${\displaystyle u=Aw,\quad {\text{and}}\quad A+uv^{\textsf {T}}=A\left(I+wv^{\textsf {T}}\right),}$

それから

${\displaystyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=\left(I+wv^{\textsf {T}}\right)^{-1}A^{-1}=\left(I-{\frac {wv^{\textsf {T}}}{1+v^{\textsf {T}}w}}\right)A^{-1}}$。

代入${\displaystyle w=A^{-1}u}$与える

${\displaystyle \left(A+uv^{\textsf {T}}\right)^{-1}=\left(I-{\frac {A^{-1}uv^{\textsf {T}}}{1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}}\right)A^{-1}=A^{-1}-{\frac {A^{-1}uv^{\textsf {T}}A^{-1}}{1+v^{\textsf {T}}A^{-1}u}}}$

正方可逆行列が与えられた場合${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$、${\displaystyle n\times k}$マトリックス${\displaystyle U}$、そして${\displaystyle k\times n}$マトリックス${\displaystyle V}$、 させて${\displaystyle B}$になる${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle B=A+UV}$と仮定すると${\displaystyle \left(I_{k}+VA^{-1}U\right)}$可逆であるため、

${\displaystyle B^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(I_{k}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.}$

• 行列式補題は、行列式に対してランク1の更新を実行します。
• ウッドベリー行列の恒等式
• 準ニュートン法
• 二項逆定理
• バンチ・ニールセン・ソーレンセンの公式
• マクスウェル応力テンソルには、シャーマン・モリソン公式の応用が含まれている。

• Weisstein, Eric W. 「シャーマン・モリソン公式」 . MathWorld .