シャルコフスキーの定理

数学において、シャルコフスキーの定理（Sharkovsky、Sharkovskiy、Šarkovskii、Sarkovskiiとも綴られる）は、1964年に発表したオレクサンドル・ミコラヨヴィチ・シャルコフスキーにちなんで名付けられた、離散力学系に関する定理である。^[1]この定理が意味することの1つは、実数直線上の離散力学系が周期3の周期点を持つ場合、他のすべての周期の周期点を持つ必要があるということである。

ある区間 に対して、 が 連続関数 であるとします。は のコピーの合成によって得られる反復関数を表す場合、の数はの周期点と呼ばれます。 さらに、すべてのに対して が成り立つ場合、の数は最小周期を持つといいます。 シャルコフスキーの定理は、 の周期点の可能な最小周期に関するものです。シャルコフスキー順序と呼ばれることもある、正の整数の次の順序付けを考えます。 ^[2]${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$$${\displaystyle f:I\to I}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f^{(m)}(x)=x}$${\displaystyle f^{(m)}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f^{(k)}(x)\neq x}$${\displaystyle 0<k<m}$${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{配列}}}$$

内容は次のとおりです。

• 奇数は 昇順で、${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{0}}$
• 奇数を2倍して、${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{1}}$
• 奇数を4倍して、${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{2}}$
• 奇数の8倍、${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{3}}$
• 等${\displaystyle =(2n+1)\cdot 2^{m}}$
• 最後に、2 の累乗を降順で並べます。${\displaystyle =2^{n}}$

この順序は全順序です。つまり、すべての正の整数がこのリストのどこかに 1 回だけ出現します。ただし、これは整順序ではありません。整順序では、すべてのサブセットに最も古い要素がありますが、この順序では 2 の最も古い累乗は存在しません。

シャルコフスキーの定理によれば、 に最小周期 の周期点があり、 が上記の順序で先行する場合、 にも最小周期 の周期点があることが述べられています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$

1 つの結論として、 に周期点が有限個しかない場合、それらはすべて 2 の累乗周期を持つ必要があります。さらに、周期 3 の周期点がある場合、他のすべての周期の周期点も存在します。 ${\displaystyle f}$

シャルコフスキーの定理は、それらの周期の安定したサイクルが存在することを述べているのではなく、それらの周期のサイクルが存在することを述べているだけです。ロジスティック マップなどのシステムの場合、分岐図には、明らかに唯一のサイクルが周期 3 であるパラメーター値の範囲が表示されます。実際には、すべての周期のサイクルが存在するはずですが、それらは安定していないため、コンピューターで生成された画像には表示されません。

連続性の仮定は重要です。この仮定がなければ、次のように定義される 不連続な区分線形関数 は 、すべての値の周期が 3 であるため、反例になります。同様に重要なのは、 が区間上で定義される という仮定です。そうでない場合は、 を除く実数上で定義され、の非ゼロ値はすべて周期が 3 であるため、反例になります。 ${\displaystyle f:[0,3)\to [0,3)}$$${\displaystyle f:x\mapsto {\begin{cases}x+1&\mathrm {for\ } 0\leq x<2\\x-2&\mathrm {for\ } 2\leq x<3\end{cases}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:x\mapsto (1-x)^{-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1\},}$

シャルコフスキーは逆定理も証明した。すなわち、上記の順序の全ての上側集合は、区間からそれ自身への連続関数の周期集合である。実際、そのような周期集合は全て、 、によって達成される空集合を除いて、 、 に対して関数族 によって達成される。^{[3] [4]}${\displaystyle T_{h}:[0,1]\to [0,1]}$${\displaystyle x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)}$${\displaystyle h\in [0,1]}$${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto x+1}$

一方、周期軌道上の点に作用する区間写像の組み合わせ構造に関する追加情報により、周期 n の点が周期 3 (したがってすべての周期) を強制する可能性がある。つまり、軌道タイプ (周期軌道上の点に作用する写像によって生成される巡回置換) にいわゆる伸縮ペアがある場合、これは周期 3 の周期点の存在を意味する。ほぼすべての巡回置換が少なくとも 1 つの伸縮ペアを許容することが (漸近的に) 示され、したがってほぼすべての軌道タイプが周期 3 を意味する。^[5]

ティエン・イエン・リーとジェームズ・A・ヨークは1975年に、周期3のサイクルの存在はすべての周期のサイクルの存在を意味するだけでなく、どのサイクルにもマッピングされない無数の点（カオス点）の存在を意味することを示しました。これは周期3はカオスを意味するという性質として知られています。^[6]

シャルコフスキーの定理は、他の位相空間上の力学系にはそのまま適用できない。周期 3 の周期点のみを持つ円写像を見つけることは簡単である。たとえば、120 度回転する。しかし、いくつかの一般化は可能であり、典型的には、空間の写像類群から周期軌道を除いたものが含まれる。たとえば、ピーター・クローデンは、シャルコフスキーの定理が三角形写像、すなわち成分f _{i が}最初のi成分x ₁、...、 x _iのみに依存する写像に対して成立することを示した。^[7]

• Weisstein, Eric W.「Sharkovsky の定理」。MathWorld。
• PlanetMathの Sharkovskii の定理。
• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。
• Misiurewicz, Michal (1997 年 11 月). 「Sharkovsky の定理に関する考察」.アメリカ数学月刊誌. 104 (9): 846–847. doi :10.1080/00029890.1997.11990727.
• キース・バーンズとボリス・ハッセルブラット「シャルコフスキー定理：自然な直接証明」
• scholarpedia: アレクサンドル・ニコラエヴィッチ・シャルコフスキーによるシャルコフスキー順序付け