微分方程式のべき級数解

数学では、べき級数法は、特定の微分方程式のべき級数解を求めるために使用されます。一般に、このような解は、未知の係数を持つべき級数を仮定し、その解を微分方程式に代入して、係数の 漸化式を見つけます。

2 階線形微分方程式を考えます。a 2はすべての z_に対して0 以外であると 仮定します。次に、全体を割って次のように得られます 。さらに、 a ₁ / a ₂とa ₀ / a ₂は解析関数である と仮定します。 $${\displaystyle a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.}$$$${\displaystyle f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.}$$

べき級数法ではべき級数解の構築が必要となる。 $${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}.}$$

あるzに対してa ₂がゼロである場合、この方法のバリエーションであるフロベニウス法は、いわゆる「特異点」を扱うのに適しています。この方法は、システムだけでなく高次方程式に対しても同様に機能します。

エルミート微分方程式を見てみましょう。 $${\displaystyle f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1}$$

級数解を構築してみることもできる $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\f'&=\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}\\f''&=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}\end{aligned}}}$$

これらを微分方程式に代入すると $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-2z\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}=0\\=&\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\end{aligned}}}$$

最初の合計を変更する $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+\sum _{k=1}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}\right)z^{k}\end{aligned}}}$$

この級数が解である場合、これらの係数はすべてゼロでなければならないので、k =0 とk >0 の両方の場合、次のようになります。 $${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}=0}$$

これを並べ替えると、A _{k +2}の再帰関係が得られます。 $${\displaystyle (k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_{k}}$$ $${\displaystyle A_{k+2}={(2k-1) \over (k+2)(k+1)}A_{k}}$$

今、私たちは $${\displaystyle A_{2}={-1 \over (2)(1)}A_{0}={-1 \over 2}A_{0},\,A_{3}={1 \over (3)(2)}A_{1}={1 \over 6}A_{1}}$$

初期条件がある場合、つまり初期値問題がある場合、 A ₀とA _{1 を}決定できます。

したがって、次の式が得られます 。 また、級数解は となり、 これを 2 つの線形独立級数解の和に分解できます。 これは、超幾何級数 を 使用することでさらに簡略化できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{4}&={1 \over 4}A_{2}=\left({1 \over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_{0}={-1 \over 8}A_{0}\\[8pt]A_{5}&={1 \over 4}A_{3}=\left({1 \over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_{1}={1 \over 24}A_{1}\\[8pt]A_{6}&={7 \over 30}A_{4}=\left({7 \over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_{0}={-7 \over 240}A_{0}\\[8pt]A_{7}&={3 \over 14}A_{5}=\left({3 \over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_{1}={1 \over 112}A_{1}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+A_{2}z^{2}+A_{3}z^{3}+A_{4}z^{4}+A_{5}z^{5}+A_{6}z^{6}+A_{7}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+A_{1}z+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle f=A_{0}\left(1+{-1 \over 2}z^{2}+{-1 \over 8}z^{4}+{-7 \over 240}z^{6}+\cdots \right)+A_{1}\left(z+{1 \over 6}z^{3}+{1 \over 24}z^{5}+{1 \over 112}z^{7}+\cdots \right)}$$

この方程式（および一般的なべき級数解）を解くより簡単な方法は、テイラー級数展開を使うことである。ここでは答えが次の形式であると仮定する。 $${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }{A_{k}z^{k} \over {k!}}}$$

これを行えば、係数の反復関係を得るための一般的な規則は 次のようになる。 $${\displaystyle y^{[n]}\to A_{k+n}}$$$${\displaystyle x^{m}y^{[n]}\to (k)(k-1)\cdots (k-m+1)A_{k+n-m}}$$

この場合、エルミート方程式をより少ないステップで解くことができます。 級数で は 、または $${\displaystyle f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1}$$$${\displaystyle A_{k+2}-2kA_{k}+\lambda A_{k}=0}$$$${\displaystyle A_{k+2}=(2k-\lambda )A_{k}}$$$${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }{A_{k}z^{k} \over {k!}}}$$

べき級数法は、柔軟性は劣るものの、特定の非線形微分方程式に適用できます。パーカー・ソチャッキ法を使用すると、非常に多くの種類の非線形方程式を解析的に解くことができます。パーカー・ソチャッキ法は、補助方程式を介して元の常微分方程式のシステムを展開するため、単にべき級数法とは呼ばれません。パーカー・ソチャッキ法は、多くの非線形問題でべき級数法を可能にするために、べき級数法の前に行われます。常微分方程式の問題は、補助変数を使用して展開することができ、これにより、同等のより大きなシステムに対してべき級数法が簡単になります。常微分方程式の問題を補助変数を使用して展開すると、同じ係数が生成されます (関数のべき級数は一意であるため)。ただし、補助方程式の係数も計算する必要があります。多くの場合、補助変数を使用しないと、システムの解のべき級数を取得する方法が知られていないため、べき級数法だけではほとんどの非線形方程式に適用するのが困難です。

べき級数法は初期値問題（境界値問題とは対照的）に対してのみ解を与えますが、線形方程式を扱う場合には問題にはなりません。なぜなら、解は複数の線形独立な解を生み出す可能性があり、それらを組み合わせる（重ね合わせによって）ことで境界値問題も解くことができるからです。さらに制限されるのは、級数係数が非線形再帰によって指定されることです（非線形性は微分方程式から継承されます）。

解法が機能するためには、線形方程式の場合と同様に、非線形方程式のすべての項をべき級数として表現し、すべての項を 1 つのべき級数に結合する必要があります。

例として、 溝内の毛細管駆動流の解を表す初期値問題を考えてみましょう。非線形性が 2 つあります。第 1 項と第 2 項は積を伴います。初期値は で与えられており、これはべき級数を次のように設定する必要があることを示しています。 このようにすると、 初期値の評価が非常に簡単になるためです。べき級数の定義を考慮して方程式を少し書き直し、 第 3 項がべき級数で示されるのと同じ形式になるようにする必要があります。 $${\displaystyle FF''+2F'^{2}+\eta F'=0\quad ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle \eta =1}$$${\displaystyle F(\eta )=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}(\eta -1)^{i}}$$$${\displaystyle \left.{\frac {d^{n}F}{d\eta ^{n}}}\right|_{\eta =1}=n!\ c_{n}}$$$${\displaystyle FF''+2F'^{2}+(\eta -1)F'+F'=0\quad ;\quad F(1)=0\ ,\ F'(1)=-{\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle \eta -1}$

最後に考慮すべき点は、積をどうするかということです。 のべき級数を代入すると、各項がそれ自身のべき級数である必要がある場合に、べき級数の積になります。 ここでコーシー積 が役立ちます。べき級数を微分方程式に代入し、この恒等式を適用すると 、すべての項がべき級数である方程式が得られます。 多くの再配置の後、級数係数の正確な値を指定する再帰式が得られます。 および の初期値から、その後は上記の再帰式が使用されます。 たとえば、次のいくつかの係数: $${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\sum _{j=0}^{i}a_{i-j}b_{j}}$$$${\displaystyle \sum _{j=0}^{i}\left((j+1)(j+2)c_{i-j}c_{j+2}+2(i-j+1)(j+1)c_{i-j+1}c_{j+1}\right)+ic_{i}+(i+1)c_{i+1}=0}$$${\displaystyle c_{0}=0}$${\displaystyle c_{1}=-1/2}$$${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{6}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {1}{108}}\quad ;\quad c_{4}={\frac {7}{3240}}\quad ;\quad c_{5}=-{\frac {19}{48600}}\ \dots }$$

この例では、べき級数解の限界が明らかになっています。問題の数値解は、関数が滑らかで、 の左側では必ず減少し、右側ではゼロになることを示しています。 では、傾きの不連続性が存在しますが、これはべき級数では表現できない特徴です。このため、級数解は突然ゼロになるのではなく、 の右側で減少し続けます。 ${\displaystyle \eta =1}$${\displaystyle \eta =1}$${\displaystyle \eta =1}$

• Weisstein、Eric W.「フロベニウス法」。MathWorld。

• コディントン、アール A.; レビンソン、ノーマン (1955)。『常微分方程式の理論』ニューヨーク:マグロウヒル。
• Hille, Einar (1976)。『複素領域における常微分方程式』Mineola : Dover Publications。
• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。
• Lozi, R.; Pogonin, VA; Pchelintsev, AN (2016). 「二次非線形性を持つ動的モデル方程式のカオス解の近似の新しい正確な数値法」(PDF) . Chaos, Solitons & Fractals . 91 : 108–114. Bibcode :2016CSF....91..108L. doi :10.1016/j.chaos.2016.05.010.