クネーザーの定理（組合せ論）

加法組合せ論として知られる数学の分野において、クネザーの定理は、アーベル群の特定の和集合の大きさに関するいくつかの関連定理のうちの1つを指す。これらは、1953年[1]と1956年[2]に発表したマーティン・クネザーにちなんで名付けられた。これらは、やはり群の和集合に関する^が、^位数が素数である群に限定されるコーシー・ダベンポートの定理の拡張と見なすことができる。^[3]

最初の 3 つのステートメントは、サイズが (さまざまな意味で) 加数の合計よりも厳密に小さい和集合を扱います。最後のステートメントは、連結コンパクトアーベル群におけるハール測度の等式の場合を扱います。

がアーベル群であり、が の部分集合である場合、 群はの安定化群です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H(C):=\{g\in G:g+C=C\}}$${\displaystyle C}$

をアーベル群とする。および がを満たすの空でない有限部分集合であり、が の安定集合である場合、${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |A+B|<|A|+|B|}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A+B}$${\displaystyle {\begin{aligned}|A+B|&=|A+H|+|B+H|-|H|.\end{aligned}}}$

この命題は、以下のLCA群の命題の系であり、周囲群が離散的である場合に特化して得られる。自己完結的な証明はNathansonの教科書に記載されている。^[4]

^{1953年のクネザーの論文[1]}の主な結果は、シュニレルマン密度に関するマンの定理の変形である。

が のサブセットである場合、の下漸近密度は数 です。 下漸近密度に関するクネーザーの定理は、および が を満たすのサブセットである場合、 が次の 2 つの条件を満たす自然数が存在することを述べています。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\underline {d}}(C):=\liminf _{n\to \infty }{\frac {|C\cap \{1,\dots ,n\}|}{n}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\underline {d}}(A+B)<{\underline {d}}(A)+{\underline {d}}(B)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H:=k\mathbb {N} \cup \{0\}}$

${\displaystyle (A+B+H)\setminus (A+B)}$有限である、

そして

${\displaystyle {\underline {d}}(A+B)={\underline {d}}(A+H)+{\underline {d}}(B+H)-{\underline {d}}(H).}$

であることに注意してください。 ${\displaystyle A+B\subseteq A+B+H}$${\displaystyle 0\in H}$

をハール測度を持つLCA群とし、によって誘導される内部測度を表すものとする（また、通常通り はハウスドルフであると仮定する）。2つの-可測集合の和集合は -可測でない場合があるため、内部ハール測度を考慮する必要がある。Kneserの1956年の論文^[2]のSatz 1は次のように述べることができる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle m_{*}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

およびが を満たすの非空-可測部分集合である場合、安定化集合はコンパクトかつ開集合である。したがって はコンパクトかつ開集合（したがって-可測）であり、 の有限個の剰余類の和集合である。さらに、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle m_{*}(A+B)<m(A)+m(B)}$${\displaystyle H:=H(A+B)}$${\displaystyle A+B}$${\displaystyle m}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m(A+B)=m(A+H)+m(B+H)-m(H).}$

連結群には適切な開部分群がないので、上記の文は、が連結であれば、すべての-測定可能な集合およびに対して であることが直ちに意味する。例: ${\displaystyle G}$${\displaystyle m_{*}(A+B)\geq \min\{m(A)+m(B),m(G)\}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

は、 がトーラスで、が区間であるときに見つかります。Kneser の 1956 年の論文^[2]の Satz 2 では、非ヌル加数を持つ式 ( 1 ) を満たすすべての集合の例は、これらの明らかな修正であると述べられています。正確には、 がハール測度を持つ連結コンパクトアーベル群であり、 が、および を満たすの -可測部分集合である場合、連続射影準同型が存在し、 、 、となる閉区間、が存在します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle m(A)>0,m(B)>0}$${\displaystyle \phi :G\to \mathbb {T} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle A\subseteq \phi ^{-1}(I)}$${\displaystyle B\subseteq \phi ^{-1}(J)}$${\displaystyle m(A)=m(\phi ^{-1}(I))}$${\displaystyle m(B)=m(\phi ^{-1}(J))}$

• Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z.編 (2009)。組合せ数論と加法群論。バルセロナの数学 CRM 上級コース。Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, YO; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Solymosi , J .; Stanchescu, Y. Javier Cilleruelo、Marc Noy、Oriol Serra (DocCourse コーディネーター) による序文付き。バーゼル: Birkhäuser。ISBN 978-3-7643-8961-1.ZBL1177.11005  。​
• Grynkiewicz, David (2013).構造加法理論. 数学の発展. 第30巻. Springer . p. 61. ISBN 978-3-319-00415-0.ZBL1368.11109  。​
• タオ、テレンス、ヴー、ヴァン H. (2010)、加法組合せ論、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-13656-3、Zbl  1179.11002