海底拡大

マントル半空間モデルでは、^{[ 28 ]}海洋地殻の高さは、熱膨張により海洋リソスフェアとマントルの温度によって決まります。海底の高さは海洋地殻の高さと同じではないことに注意してください。海洋地殻の上には堆積物の層もあり、通常は数百メートルの厚さですが、数キロメートルの厚さになる場合もあり、沿岸のいくつかの場所では最大で 20 キロメートルの厚さになることもあります。^{[ 29 ]}単純な結果として、海嶺の高さまたは海洋の深さは、その年齢の平方根に比例します。^{[ 28 ]}海洋リソスフェアは、中央海嶺で一定の速度で継続的に形成されます。リソスフェアの源は、半平面の形状 ( x = 0、z < 0 ) で、一定の温度T _{1 を持ちます。継続的に生成されるため、} x > 0のリソスフェアは、一定の速度vで海嶺から離れて移動しており、これは問題の他の典型的なスケールに比べて大きいと想定されます。リソスフェアの上部境界（z = 0）における温度は一定値T ₀ = 0 である。したがって、x = 0 における温度はヘヴィサイド階段関数となる。${\displaystyle T_{1}\cdot \Theta (-z)}$システムは準定常状態にあると仮定されるため、温度分布は時間的に一定である。${\displaystyle T=T(x,z).}$

移動するリソスフェアの参照系（速度v）で計算すると、空間座標は${\displaystyle x'=x-vt,}$${\displaystyle T=T(x',z,t).}$そして熱方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T=\kappa {\frac {\partial ^{2}T}{\partial ^{2}z}}+\kappa {\frac {\partial ^{2}T}{\partial ^{2}x'}}}$

どこ${\displaystyle \kappa }$はマントルリソスフェアの熱拡散率である。

T はx'とtの組み合わせのみに依存するため${\displaystyle x=x'+vt,}$:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x'}}={\frac {1}{v}}\cdot {\frac {\partial T}{\partial t}}}$

したがって：

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T=\kappa {\frac {\partial ^{2}T}{\partial ^{2}z}}+{\frac {\kappa }{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}T}{\partial ^{2}t}}}$

想定されるのは${\displaystyle v}$は問題における他のスケールに比べて大きいため、方程式の最後の項は無視され、1次元拡散方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}T}{\partial ^{2}z}}}$

初期条件

${\displaystyle T(t=0)=T_{1}\cdot \Theta (-z).}$

解決策${\displaystyle z\leq 0}$誤差関数によって与えられます。

${\displaystyle T(x',z,t)=T_{1}\cdot \operatorname {erf} \left({\frac {z}{2{\sqrt {\kappa t}}}}\right)}$。

流速が大きいため、水平方向の温度依存性は無視でき、時刻tにおける高さ (すなわち、年齢tの海底) は、 z方向の熱膨張を積分することによって計算できます。

${\displaystyle h(t)=h_{0}+\alpha _{\mathrm {eff} }\int _{0}^{\infty }[T(z)-T_{1}]dz=h_{0}-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\alpha _{\mathrm {eff} }T_{1}{\sqrt {\kappa t}}}$

どこ${\displaystyle \alpha _{\mathrm {eff} }}$は有効体積熱膨張係数であり、h ₀は（何らかの基準値と比較した）中央海嶺の高さである。

vが比較的大きいという仮定は、熱拡散率が${\displaystyle \kappa }$に比べて小さい${\displaystyle L^{2}/A}$ここで、Lは海洋の幅（中央海嶺から大陸棚まで）であり、Aは海洋盆地の年齢である。

有効熱膨張係数${\displaystyle \alpha _{\mathrm {eff} }}$通常の熱膨張係数とは異なる${\displaystyle \alpha }$これは、地殻の膨張または収縮に伴う、地殻上部の水柱高さの変化による地殻均衡効果によるものです。両方の係数は次の関係式で結び付けられます。

${\displaystyle \alpha _{\mathrm {eff} }=\alpha \cdot {\frac {\rho }{\rho -\rho _{w}}}}$

どこ${\displaystyle \rho \sim 3.3\ \mathrm {g} \cdot \mathrm {cm} ^{-3}}$岩石密度と${\displaystyle \rho _{0}=1\ \mathrm {g} \cdot \mathrm {cm} ^{-3}}$は水の密度です。

パラメータを概算値で置き換えることにより、

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &\sim 8\cdot 10^{-7}\ \mathrm {m} ^{2}\cdot \mathrm {s} ^{-1}\\\alpha &\sim 4\cdot 10^{-5}\ {}^{\circ }\mathrm {C} ^{-1}\\T_{1}&\sim 1220\ {}^{\circ }\mathrm {C} &&{\text{for the Atlantic and Indian oceans}}\\T_{1}&\sim 1120\ {}^{\circ }\mathrm {C} &&{\text{for the eastern Pacific}}\end{aligned}}}$

結果: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle h(t)\sim {\begin{cases}h_{0}-390{\sqrt {t}}&{\text{for the Atlantic and Indian oceans}}\\h_{0}-350{\sqrt {t}}&{\text{for the eastern Pacific}}\end{cases}}}$

ここで、高さはメートル単位、時間は百万年単位です。x への依存性を得るには、 t = x / v ~ Ax / Lを代入する必要があります。ここで、Lは海嶺から大陸棚までの距離（海洋幅の約半分）、Aは海洋盆地の年齢です。

海底の高さではなく${\displaystyle h(t)}$基準レベルまたは参照レベルより上${\displaystyle h_{b}}$海の深さ${\displaystyle d(t)}$興味深い。なぜなら${\displaystyle d(t)+h(t)=h_{b}}$（と${\displaystyle h_{b}}$（海面から測定）：

${\displaystyle d(t)=h_{b}-h_{0}+350{\sqrt {t}}}$例えば東太平洋では、${\displaystyle h_{b}-h_{0}}$海嶺の頂上における水深は、通常2600メートルである。

上記で導出した海底年齢の平方根によって予測される深度は、8000万年以上前の海底としては深すぎる。^{[ 27 ]}深度は、冷却するマントル半空間よりも、冷却するリソスフェアプレートモデルによってよりよく説明される。^{[ 27 ]}プレートは、基底部と拡大縁で一定の温度を持つ。深度と年齢、および深度と年齢の平方根のデータの分析により、パーソンズとスクレーター^{[ 27 ]}はモデルパラメータ（北太平洋の場合）を推定した。

岩石圏の厚さは約125km

${\displaystyle T_{1}\thicksim 1350\ {}^{\circ }\mathrm {C} }$プレートの基部と若い縁

${\displaystyle \alpha \thicksim 3.2\cdot 10^{-5}\ {}^{\circ }\mathrm {C} ^{-1}}$

冷却プレートの下のあらゆる場所で地殻均衡が保たれていると仮定すると、古い海底の年代深度関係が修正され、2000万年前という比較的若い年代についてはほぼ正しい値が得られる。

${\displaystyle d(t)=6400-3200\exp {\bigl (}-t/62.8{\bigr )}}$メートル

したがって、古い海底は若い海底よりもゆっくりと深くなり、実際には約6400mの深さでほぼ一定であるとみなすことができます。パーソンズとスクレーターは、125kmより下の冷却と 古い時代の岩石圏の収縮（海底の深化）を防ぐために、プレートの底部に何らかのマントル対流が常に熱を供給しなければならないと結論付けました。^{[ 27 ]}彼らのプレートモデルでは、海底からの伝導熱流量q(t)の式も得られ、これは約6400mでほぼ一定です。${\displaystyle 1\cdot 10^{-6}\mathrm {cal} \,\mathrm {cm} ^{-2}\mathrm {sec} ^{-1}}$1億2000万年以上前：

${\displaystyle q(t)=11.3/{\sqrt {t}}}$