スハウテン・ナイエンフイス括弧

微分幾何学において、Schouten–Nijenhuis 括弧(Schouten 括弧とも呼ばれる)は、ベクトル場のリー括弧を拡張した滑らかな多様体上の多重ベクトル場に対して定義される次数付きリー括弧の一種です。

2つの異なるバージョンがあり、どちらも紛らわしいことに同じ名前で呼ばれています。最も一般的なバージョンは、交代多重ベクトル場 上で定義され、それらをゲルシュテンハーバー代数にしますが、対称多重ベクトル場 上で定義される別のバージョンもあり、これは多かれ少なかれ余接バンドル上のポアソン括弧と同じです。これは、 Jan Arnoldus Schouten (1940, 1953)によって発明され、その特性は彼の学生Albert Nijenhuis (1955)によって調査されました。これは、Nijenhuis–Richardson 括弧およびFrölicher–Nijhuis 括弧と関連がありますが、同じではありません。

交代多重ベクトル場は、多様体 の接束上の外積代数 の切断である。交代多重ベクトル場は、 と の積を持つ次数付き超可換環を形成し、 と表記される（ を使用する著者もいる）。これは、同次元上のペアリングによって、 通常の微分形式の代数と双対になる。${\displaystyle \wedge^{\bullet}TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a\wedge b}$ ${\displaystyle \オメガ^{\bullet }(M)}$

${\displaystyle \omega (a_{1}a_{2}\dots a_{p})=\left\{{\begin{matrix}\omega (a_{1},\dots ,a_{p})&(\omega \in \Omega ^{p}M)\\0&(\omega \not \in \Omega ^{p}M)\end{matrix}}\right.}$

における多重ベクトルの次数はと定義されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \Lambda^{p}TM}$${\displaystyle |A|=p}$

歪対称Schouten-Nijenhuis括弧は、ベクトル場のリー括弧を、交代多重ベクトル場の空間上の次数付き括弧に拡張したもので、交代多重ベクトル場をゲルステンハーバー代数にする。これは、ベクトル場のリー括弧で次のように表される。

${\displaystyle [a_{1}\cdots a_{m},b_{1}\cdots b_{n}]=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[a_{i},b_{j}]a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{m}b_{1}\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_{n}}$

ベクトル場の場合、そして ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{j}}$

${\displaystyle [f,a_{1}\cdots a_{m}]=-\iota _{df}(a_{1}\cdots a_{m})}$

ベクトル場と滑らかな関数の場合、 は共通の内積演算子です。次の特性があります。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \iota _{df}}$

• ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$（積は結合的である）
• ${\displaystyle ab=(-1)^{|a||b|}ba}$（積は（超）可換である）；
• ${\displaystyle |ab|=|a|+|b|}$（積の次数は0です）
• ${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$(Schouten–Nijenhuis ブラケットの次数は -1)。
• ${\displaystyle [a,bc]=[a,b]c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b[a,c]}$（ポアソン恒等式）
• ${\displaystyle [a,b]=-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,a]}$(スハウテン・ナイエンハウス括弧の反対称);
• ${\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,[a,c]]}$(スハウテン-ナイエンハウス括弧のヤコビ恒等式);
• およびが関数（次数 0 の同次多重ベクトル）である場合、${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle [f,g]=0}$
• がベクトル場である場合、 は に沿った多重ベクトル場の通常のリー微分であり、特に、と がベクトル場である場合、Schouten–Nijenhuis 括弧はベクトル場の通常のリー括弧です。${\displaystyle a}$${\displaystyle [a,b]=L_{a}b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

スハウテン・ナイエンフイス括弧は、次数が逆パリティのものに変更された場合（偶数部分空間と奇数部分空間が入れ替わる）、多重ベクトル場をリー超代数にするが、この新しい次数では超可換環ではなくなる。したがって、ヤコビ恒等式は対称形式でも表すことができる。

${\displaystyle (-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,}$

交代多重ベクトル場に対するSchouten–Nijenhuis括弧とVinogradov (1990)による Frölicher–Nijenhuis括弧の共通の一般化がある。

スハウテン・ナイエンフイス括弧のバージョンは、同様の方法で対称多重ベクトル場に対しても定義できます。対称多重ベクトル場は、ファイバー内で多項式となるの余接空間上の関数と同一視でき、この同一視の下では、対称スハウテン・ナイエンフイス括弧は、シンプレクティック多様体上の関数のポアソン括弧に対応します。対称多重ベクトル場に対するスハウテン・ナイエンフイス括弧と、 Dubois-Violette および Peter W. Michor (1995) による Frölicher-Nijenhuis 括弧の共通の一般化があります。${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

• Dubois-Violette, Michel; Michor, Peter W. (1995). 「対称多重ベクトル場に対する Frölicher–Nijenhuis 括弧と Schouten 括弧の共通一般化」. Indag. Math . 6 (1): 51–66. arXiv : alg-geom/9401006 . doi :10.1016/0019-3577(95)98200-u.
• Marle, Charles-Michel (1997). 「Schouten-Nijenhuis ブラケットと内部積」(PDF) . Journal of Geometry and Physics . 23 (3–4): 350–359. Bibcode :1997JGP....23..350M. CiteSeerX  10.1.1.27.5358 . doi :10.1016/s0393-0440(97)80009-5.
• ナイエンハウス、A. (1955)。 「特定のテンソル場の双一次微分随伴体に対するヤコビ型恒等式 I」。Indagationes Mathematicae。17 : 390–403。土井：10.1016/S1385-7258(55)50054-0。hdl : 10338.dmlcz/102420。
• JA スショウテン (1940 年)。 「ユーバー・ディファレンシャル・コンコミタンテン・ツヴァイアー・コントラヴァリアンテン・グロッセン」。インダグ。数学。2 : 449–452。
• Schouten, JA (1953)。「テンソル計算における第 1 次微分演算子について」。Cremonese (編)。Convegno Int. Geom. Diff. Italia。pp . 1–7。
• ビノグラドフ、AM (1990)。 「スハウテン・ナイエンハウス括弧とフローリッヒャー・ナイエンハウス括弧、コホモロジー、および超微分演算子の統合」。Sov.数学。ザメトキ。４７．

• Nicola Ciccoli Schouten–Nijenhuis が「ポアソン幾何学から量子幾何学へ」に関するノートで括弧を付けている