有限含水率不飽和帯流法

有限含水率通気帯フラックス法^{[1] [2]は、}不飽和土壌中の水の動きをシミュレートするためのリチャーズ方程式^[3]の数値解法の1次元代替法です。有限含水率法は、リチャーズ偏微分方程式の常微分方程式の代替である 土壌水分速度方程式の移流のような項を解きます。リチャーズ方程式は、いくつかの場合を除いて閉じた形式の解析解を持たないため、一般に近似することが困難です。 ^{[4]有限含水率法は、おそらく}リチャーズ方程式 の数値解法の最初の一般的な代替法です。有限含水率解法は、リチャーズ方程式解法に比べていくつかの利点があります。まず、常微分方程式であるため、明示的であり、収束することが保証されており^[5]、計算コストが低く抑えられます。次に、有限体積解法を使用すると、質量が保存されることが保証されます。有限含水率法は、リチャーズ解法では困難な鋭い濡れ面を容易にシミュレートします。^[6] 有限水分含有量法を使用するために必要な主な制限仮定は、土壌が層状に均質であることです。

有限含水率不飽和帯フラックス法は、リチャーズの式の導出と同じ出発点から導かれる。しかし、導出ではホドグラフ変換^[7]を用いて土壌水分拡散係数を含まない移流解を生成する。ここで、は従属変数となり、は独立変数となる。^[2]${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]\ }$

どこ：

${\displaystyle K}$は不飽和透水係数[LT ⁻¹ ]であり、

${\displaystyle \psi}$毛細管圧力水頭[L]（不飽和土の場合は負）

${\displaystyle z}$は垂直座標[L]（下向きが正）であり、

${\displaystyle \theta}$は水分含有量、(−)であり、

${\displaystyle t}$時間[T]です。

この方程式は、直線法^[8]を用いて、方程式の右側の偏導関数を適切な差分形式に変換し、 3つの常微分方程式（ODE）^[2]のセットに変換されました。これら3つのODEは、それぞれ浸透水、落下スラグ、毛細管地下水のダイナミクスを表しています。

2017年に優れた導出^{[9]が発表され、この式は}土壌水分速度式の拡散のないバージョンであることが示されました。

この方程式を解く一つの方法は、積分によって解くことである：^[10]${\displaystyle q(\theta,t)}$${\displaystyle z(\theta,t)}$

${\displaystyle \int {\frac {\partial q}{\partial \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\partial z}{\partial t}}\,d\theta }$

代わりに、有限の水分含有量の離散化が使用され、積分は合計に置き換えられます。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}\Delta \theta =\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}\Delta \theta }$

ここで、有限水分含有量ビンの合計数です。 ${\displaystyle N}$

このアプローチを使用すると、各ビンの保存方程式は次のようになります。

${\displaystyle \left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}=\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}.}$

ライン法は、右側の偏微分形式を適切な有限差分形式に置き換えるために使用されます。このプロセスにより、有限水分量離散化を使用して浸透前線、落下スラグ、地下水毛細管前線のダイナミクスを記述する 3 つの常微分方程式のセットが生成されます。

有限含水率不飽和帯フラックス計算法は、リチャーズ方程式の 偏微分方程式を 3 つの常微分方程式(ODE) に置き換えます。これらの 3 つの ODE は、次のセクションで説明します。さらに、有限含水率法では土壌水分の拡散が明示的に考慮されないため、別途毛細管緩和ステップが必要になります。毛細管緩和^[11]は、REV スケールを超える移流を生じない、細孔スケールでの自由エネルギー最小化プロセスを表します。

図1を参照すると、地表に浸透した水は、との間の空隙空間を通って流れることができる。線法の文脈では、偏微分項は次のように置き換えられる。 ${\displaystyle \theta_{d}}$${\displaystyle \theta_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

陸地表面の水たまりの深さが であるとすると、グリーンとアンプト（1911）^[12]の仮定が採用され、 ${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j} }},}$

流れを駆動する毛細管ヘッド勾配を表します。したがって、浸透前線の場合の有限水分含有量方程式は次のようになります。

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

降雨が止み、すべての地表水が浸透した後、浸透前線を含むビン内の水は地表から離れます。この「落下するスラグ」の水の先端と後端の毛細管現象が均衡していると仮定すると、水は、ビンに関連付けられた増分導電率で媒体を通過し ます。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle \デルタ \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$

この場合、ビンへの水の流入はビンjとiの間で発生します。したがって、ライン法のコンテキストでは次のようになります。 ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

そして、

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

その結果は次のようになります。

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

この式の性能は、地下水面速度が0.92未満の場合に、ChildsとPoulovassilis（1962）による柱状実験^{[13]を使用して検証されました。 [14]} その検証の結果、有限水分含量不飽和帯フラックス計算法は、Richardsの式の数値解と同等の性能を発揮することが示されました。 ${\displaystyle K_{s}}$

図1を参照すると、水分含有量が飽和に近づくにつれて透水係数が急速に増加するため、毛細管地下水フロントと浸透フロントの両方の右端のビンは、左側の隣接するビンを「追い越す」ことができます。有限水分含有量離散化では、これらのショック^[15]は毛細管緩和プロセスによって消散します。これは、REVスケールを超える移流を生成しない細孔スケールの自由エネルギー最小化プロセスを表します^[11] 数値的には、このプロセスは、フロントを左から右に単調に減少する大きさに配置する数値ソートです。

有限含水率不飽和帯フラックス法は、 BrooksとCorey ^[16]、 ClappとHornberger ^[17]、van Genuchten-Mualem ^[18]などの単調な保水曲線/不飽和透水係数関係で機能します。 この方法は、ヒステリシス保水関係でも機能する可能性がありますが、これらはまだテストされていません。

有限含水量法では土壌水分の拡散の効果が考慮されません。拡散フラックスの平均は小さいため、この省略はフラックス計算の精度に影響しません。実際には、これは濡れ面の形状が浸透の促進に何ら役割を果たさないことを意味します。この方法は、これまでのところ実際の応用では 1 次元に限定されています。浸透方程式^{[2] は}2 次元および準 3 次元に拡張されました。^[5] 方法全体を 1 次元以上に拡張するには、さらに作業が必要です。

この方法を説明した論文^[2]は、国際水文地質学者協会の若手水文地質学者ネットワークによって、水文地質学の将来に対する潜在的な影響が認められ、「2015年に出版された最も優れた論文」賞を受賞しました。

• リチャーズの方程式
• 浸透（水文学）
• 土壌水分速度方程式