反射定理

代数的整数論において、反射定理またはSpiegelungssatz（ドイツ語では反射定理、Spiegelungssatzを参照）は、異なるイデアル類群（または光線類群）のサイズ、または類群の異なる同型成分のサイズを結び付ける定理の集合の1つである。元々の例はエルンスト・エドゥアルト・クンマーによるもので、彼は、 p を素数とする円分体 の類数は、最大実部分体の類数がp で割り切れる場合、 pで割り切れることを示した。別の例はショルツによるものである。^[1] 彼の定理の簡略版は、実二次体の類数が 3 で割り切れる場合、虚二次体の類数も 3 で割り切れることを述べている。 ${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)}$${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p}\right)^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {-3d}}\right)}$

上記の両方の結果は、ガロア拡大の ガロア群上のモジュールとして考えられる数体の類群の異なる同型成分の p ランクを関連付けるレオポルドの「シュピーゲルングサッツ」によって一般化されます。

L / K を数体の有限ガロア拡大とし、群 G 、次数が p と素で、Lがp乗根を含むものとする。AをLの類群のpシロー部分群とする。 φ を群環Q _p [ G ] の既約指標上に走らせ、A _{φ を}Aの対応する直和項とする。任意の φ に対してq = p ^φ(1)とし、G階数e _{φ を}指数と する。

${\displaystyle [A_{\phi }:A_{\phi }^{p}]=q^{e_{\phi }}.}$

ωをGの指標とする

${\displaystyle \zeta ^{g}=\zeta ^{\omega (g)}{\text{ for }}\zeta \in \mu _{p}.}$

反射 ( Spiegelung ) φ ^*は次のように定義されます。

${\displaystyle \phi ^{*}(g)=\omega (g)\phi (g^{-1}).}$

E をKの単位群とする。 ε が非分岐であるとき、 ε は「一次」であるといい、E _{0 は}E ^{p を}法とする一次単位群を表すものとする。 δ _{φ は}E ₀の φ 成分のG階数を表すものとする。 ${\displaystyle K({\sqrt[{p}]{\epsilon }})/K}$

シュピーゲルングサッツは次のように述べている。

${\displaystyle |e_{\phi ^{*}}-e_{\phi }|\leq \delta _{\phi }.}$

このシュピーゲルング定理の拡張はオリアートとオリアート＝サッゲによって与えられ、そこでは類群はもはやK / kのガロア群の指標と関連付けられず、むしろK / kのガロア群上の群環のイデアルと関連付けられた。レオポルトのシュピーゲルング定理は黒田によって別の方向に一般化され、彼はそれを光線類群についての命題に拡張した。これはさらにジョルジュ・グラの非常に一般的な「 T - S反射定理」へと発展した。 ^[2]岩沢健吉も岩沢理論的反射定理を与えた。

• コッホ、ヘルムート (1997)。代数的数論。Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (第 1 版の第 2 刷)。Springer -Verlag。pp . 147–149。ISBN 3-540-63003-1.ZBL0819.11044  。​