反射ブラウン運動

確率論では、反射ブラウン運動（または規制ブラウン運動、^{[1] [2] 、}両方とも頭字語はRBM ）は、反射境界を持つ空間におけるウィーナー過程です。 ^[3]物理学の文献 では、この過程は限られた空間での拡散を表し、しばしば制限ブラウン運動と呼ばれます。たとえば、2つの壁の間に閉じ込められた水中の剛体球の運動を説明できます。^[4]

RBMは、 Kingman ^[5]によって最初に提案され、IglehartとWhitt [ ^{6 ]によって証明されたように、}大量のトラフィックを経験する待ち行列モデルを記述することが示されています^[2]。^[7]

d次元反射ブラウン運動Zは、次のように一意に定義される 確率過程である。${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$

• d次元ドリフトベクトルμ
• d × d非特異共分散行列Σと
• d × d反射行列R。[ ⁸ ]

ここで、X ( t ) はドリフトμと分散Σを持つ制約のないブラウン運動であり、^[9]

${\displaystyle Z(t)=X(t)+RY(t)}$

Y ( t )はd次元ベクトルであり、

• Yは連続的かつ非減少であり、Y (0) = 0である。
• Y _{j は}、 j  = 1,2,..., dに対してZ _j  = 0となる時刻にのみ増加する。
• Z ( t )∈  、t≥0。${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$

反射行列は境界の振る舞いを記述する。内部では、過程はウィーナー過程のように振る舞う。境界上では「大まかに言えば、境界面に当たるたびにZはR ^j方向に押される。ここでR ^jは行列Rのj番目の列である。」^[9] 過程Y _jは境界の対応する部分における過程の 局所時間である。${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$${\displaystyle \scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}}$

1次元、2次元、3次元のRBMの安定性条件は知られている。「4次元以上のSRBMの再帰分類の問題は未解決のままである。」^[9] RがM行列である特別なケースでは、安定性の必要十分条件は次の通りである^[9]。

1. Rは非特異行列であり、
2. R ⁻¹ μ  < 0 です。

0から始まり、ドリフトμと分散σ ²を持つ正の値（0に単一の反射障壁）に制限された1次元ブラウン運動の周辺分布（過渡分布）は、

${\displaystyle \mathbb {P} (Z(t)\leq z)=\Phi \left({\frac {z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)-e^{-2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)}$

全てのt ≥ 0に対して 、（Φは正規分布の累積分布関数） t → ∞をとると指数分布（ μ  < 0の場合）が得られる^[2]

${\displaystyle \mathbb {P} (Z<z)=1-e^{-2\mu z/\sigma ^{2}}.}$

t を固定すると、 Z(t)の分布はブラウン運動の 移動最大値M(t)の分布と一致する。

${\displaystyle Z(t)\sim M(t)=\sup _{s\in [0,t]}X(s).}$

しかし、プロセス全体の分布は非常に異なることに注意してください。特に、M(t) はtで増加しますが、 Z(t)の場合はそうではありません。

反射ブラウン運動の熱核は次のようになります。 ${\displaystyle p_{b}}$

${\displaystyle f(x,p_{b})={\frac {e^{-((xu)/a)^{2}/2}+e^{-((x+u-2p_{b})/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}}$

上記の飛行機の場合${\displaystyle x\geq p_{b}}$

多次元反射ブラウン運動の定常分布は、定常分布の積形が存在する場合、解析的に扱いやすい。 ^[10]これは、プロセスが安定しているときに発生し、^[11]

${\displaystyle 2\Sigma =RD+DR'}$

ここでD  =  diag ( Σ )である。この場合の確率密度関数は^[8]である。

${\displaystyle p(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d})=\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{ k}z_{k}}}$

ここで、η _k  = 2 μ _k γ _k / Σ _kkおよびγ  =  R ⁻¹ μです。積形式条件が成立しない状況の閉じた形式の表現は、以下のシミュレーションセクションで説明するように数値的に計算できます。

1次元では、シミュレートされたプロセスはウィーナー過程の絶対値です。次のMATLABプログラムはサンプルパスを作成します。^[12]

% rbm.m 
n = 10 ^ 4 ; h = 10 ^ ( - 3 ); t = h .* ( 0 : n ); mu = - 1 ; X = zeros ( 1 , n + 1 ); M = X ; B = X ; B ( 1 )= 3 ; X ( 1 )= 3 ; k = 2 の場合: n + 1 Y = sqrt ( h ) * randn ; U = rand ( 1 ); B ( k ) = B ( k - 1 ) + mu * h - Y ; M = ( Y + sqrt ( Y ^ 2 - 2 * h * log ( U ))) / 2 ; X ( k ) = max ( M - Y , X ( k - 1 ) + h * mu - Y );終了subplot ( 2,1,1 ) plot ( t , X , ' k- ' ) ; subplot ( 2,1,2 ) plot ( t , X - B , ' k- ' ) ;​​     
     
 
 
           
            
                  
             

  
  
  
  

離散シミュレーションに伴う誤差は定量化されている。^[13]

QNETは定常RBMのシミュレーションを可能にする。^{[14] [15] [16]}

フェラーはプロセスの可能な境界条件を説明した^{[17] [18] [19]}

• 吸収^[17]またはブラウン運動の停止^{[20] 、}ディリクレ境界条件
• 瞬間反射^[17]上記のようにノイマン境界条件
• 弾性反射、ロビン境界条件
• 遅延反射^[17]（境界上で費やされる時間は確率1で正である）
• 部分反射^[17]プロセスがすぐに反射されるか吸収されるかのいずれかである。
• 粘着性ブラウン運動。^[21]

• スコロホド問題