ラマヌジャンの合同

数学において、ラマヌジャンの合同式はシュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって発見された分割関数 p ( n )の合同式である。

${\displaystyle {\begin{aligned}p(5k+4)&\equiv 0{\pmod {5}},\\p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$

簡単に言えば、例えば、最初の合同性は、ある数が5の倍数より4大きい場合、つまり、その数が次の数列にある場合を意味します。

4、9、14、19、24、29、…

そのパーティションの数は 5 の倍数になります。

その後、このタイプの他の合同性が、数やタウ関数に対しても発見されました。

1919年の論文^[1]で、彼は次の恒等式（q-ポッホハマー記号表記法を使用）を使用して最初の2つの合同性を証明しました。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}},\\[4pt]&\sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}.\end{aligned}}}$

彼はその後、「これら以外の素数を含むモジュライには、同様に単純な特性は存在しないようだ」と述べた。

ラマヌジャンが1920年に亡くなった後、GHハーディはp ( n )に関するラマヌジャンの未発表原稿(Ramanujan, 1921)から3つの合同性の証明をすべて抽出しました。この原稿の証明ではアイゼンシュタイン級数を使用しています。

1944 年、フリーマン ダイソンは分割のランク関数を定義し、分割の「クランク」関数の存在を推測しました。この関数は、ラマヌジャン合同式を法として 11 を計算した場合に組み合わせ論的証明を提供します。40年後、ジョージ アンドリュースとフランク ガーバンはそのような関数を発見し、クランクが 5、7、11 を法として 3 つのラマヌジャン合同式を同時に「説明する」という有名な結果を証明しました。

1960 年代に、イリノイ大学シカゴ校のAOL Atkin は、小さな素数のモジュライに対する追加の合同性を発見しました。たとえば、

${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$

2000年にケン・オノはA.アトキンの結果を拡張して、6と互いに素なすべての整数を法としてラマヌジャン合同式が存在することを証明した。例えば、彼の結果は次の通りである。

${\displaystyle p(107^{4}\cdot 31k+30064597)\equiv 0{\pmod {31}}.}$

その後、小野健は、このとらえどころのないクランクもまったく同じタイプの一般合同性を満たすと推測しました。これは、小野の博士課程の学生であるカール・マールバーグが2005年に発表した論文「分割合同性とアンドリュース・ガーバン・ダイソン・クランク」（下記リンク）で証明されました。この論文は、第1回米国科学アカデミー紀要年間最優秀論文賞を受賞しました。^[2]

ラマヌジャンの観察に対する概念的な説明は、2011年1月に、l進位相における次の関数のハウスドルフ次元を考慮することによって最終的に発見されました^[3]。 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P_{\ell }(b;z):=\sum _{n=0}^{\infty }p\left({\frac {\ell ^{b}n+1}{24}}\right)q^{n/24}.}$

ℓ  = 5、7、または11の場合にのみ次元が0であることがわかり、分割関数はこれらの関数の線形結合として表すことができるため^[4]、これはラマヌジャンの観察の形式化と証明と見なすことができます。

2001年にRLウィーバーは分割関数の合同性を見つけるための効果的なアルゴリズムを提示し、76,065の合同性を表にまとめた。^[5]これは2012年にF.ヨハンソンによって22,474,608,014の合同性に拡張され、^[6]大きな例の1つは

${\displaystyle p(999959^{4}\cdot 29k+28995221336976431135321047)\equiv 0{\pmod {29}}.}$

• 小野 健(2000)。「m を法とする分割関数の分布」。Annals of Mathematics 。第2シリーズ。151 ( 1): 293–307。arXiv : math/0008140。Bibcode : 2000math ...... 8140O。doi : 10.2307 /121118。JSTOR 121118。S2CID  119750203。Zbl  0984.11050  。
• 小野 健(2004)。モジュラリティのウェブ: モジュラ形式と q 級数の係数の算術。CBMS数学地域会議シリーズ。第 102 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-3368-1.ZBL1119.11026  。​
• ラマヌジャン、S. (1919)。「p(n)のいくつかの性質、nの分割数」。ケンブリッジ哲学協会紀要。19 :207-210。JFM 47.0885.01  。

• Mahlburg, K. (2005). 「パーティション合同性とアンドリュース・ガーバン・ダイソンクランク」(PDF) .米国科学アカデミー紀要. 102 (43): 15373–76. Bibcode :2005PNAS..10215373M. doi : 10.1073/pnas.0506702102 . PMC  1266116. PMID  16217020 .
• ダイソンのランク、クランク、アジョイント。参考文献のリスト。