量子化状態システム法

量子化状態システム（QSS）法は、時間の離散化という従来の考え方と双対である状態量子化の考え方に基づく数値積分ソルバーのファミリーです。時間を離散化して各連続する時間ステップで次の（実数値の）状態を解くことで問題に取り組む従来の数値解法とは異なり、QSS法は時間を連続的な実体として保持し、代わりにシステムの状態を量子化し、状態が量子化された値から量子だけずれる時間を解きます。

また、古典的なアルゴリズムと比較して多くの利点があります。^{[ 1 ]} 離散イベントの性質と非同期性により、システムの不連続性をモデル化することが本質的に可能です。また、明示的なアルゴリズムを使用して明示的な根の探索とゼロ交差の検出が可能になり、反復の必要性がなくなります。これは、従来の時間ステップ法では次のシステム状態を暗黙的に解く必要があるため、計算コストが大きくなる硬いシステムの場合に特に重要です。最後に、QSS法は、古典的な解法では満たされない、以下で説明する優れたグローバル安定性と誤差限界を満たします。

2001年、エルネスト・コフマンは^{[ 2 ]}量子化状態システムシミュレーション法の注目すべき特性を証明した。すなわち、この手法を用いて安定な線形時不変（LTI）システムを解く場合、グローバル誤差は量子に比例する定数で制限されるが、（重要なことに）シミュレーションの継続時間には依存しない。より具体的には、状態遷移行列を持つ安定な多次元LTIシステムの場合、${\displaystyle A}$入力行列${\displaystyle B}$[CK06]では、絶対誤差ベクトルが${\displaystyle {\vec {e}}(t)}$上側は

$\displaystyle \left|{\vec {e}}(t)\right|\leq \left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}\Lambda \right|\ \left|V^{-1}\right|\ \Delta {\vec {Q}}+\left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}V^{-1}B\right|\ \Delta {\vec {u}}}$

どこ${\displaystyle \Delta {\vec {Q}}}$は状態量子のベクトルであり、${\displaystyle \Delta {\vec {u}}}$は入力信号で採用された量子を持つベクトルであり、${\displaystyle V\Lambda V^{-1}=A}$は、固有値分解またはジョルダン標準形です。${\displaystyle A}$、 そして${\displaystyle \left|\,\cdot \,\right|}$は要素ごとの絶対値演算子を表します（行列式やノルムと混同しないでください）。

この驚くべき誤差限界には代償が伴うことに留意すべきである。安定なLTIシステムの全体誤差は、少なくとも一次QSS1法においては、ある意味で量子自体によって下限が定められている。これは、近似値が正しい値と完全に一致しない限り（これはまず起こり得ない）、状態は常に（定義上）平衡点の外側でちょうど1量子だけ変化することが保証されているため、近似値は平衡点の周りを振動し続けるからである。この状況を回避するには、従来の離散時間シミュレーションアルゴリズムにおける適応ステップサイズ法と同様の方法で、量子を動的に下げる信頼性の高い手法を見つける必要がある。

初期値問題を以下のように定義する。

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t),t),\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

QSS1として知られる一次QSS法は、上記のシステムを次のように近似します。

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(q(t),t),\quad q(t_{0})=x_{0}.}$

どこ${\displaystyle x}$そして${\displaystyle q}$ヒステリシス量子化関数によって関連付けられている

${\displaystyle q(t)={\begin{cases}x(t)&{\text{if }}\left|x(t)-q(t^{-})\right|\geq \Delta Q\\q(t^{-})&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle \Delta Q}$これは量子と呼ばれます。この量子化関数は記憶を持つためヒステリシス性を持つことに注意してください。つまり、その出力は現在の状態の関数であるだけでなく、${\displaystyle x(t)}$しかし、それはその古い価値にも依存します。${\displaystyle q(t^{-})}$。

したがって、この定式化は状態を区分的定数関数で近似する。${\displaystyle q(t)}$これは、状態がこの近似から1量子だけずれるとすぐにその値を更新する。

このシステムの多次元定式化は、上記の一次元定式化とほぼ同じです。$\displaystyle k^{\text{th}}}$量子化された状態${\displaystyle q_{k}(t)}$は対応する状態の関数であり、${\displaystyle x_{k}(t)}$状態ベクトル${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$これは量子化された状態ベクトル全体の関数であり、${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$:

${\displaystyle {\vec {x}}(t)=f({\vec {q}}(t),t)}$

2次QSS法であるQSS2は、QSS1と同じ原理に従いますが、定義が異なります。${\displaystyle q(t)}$軌跡の区分的線形近似として${\displaystyle x(t)}$2つの値が1量子だけ異なるとすぐに軌道が更新される。このパターンは、量子化された状態を定義する高次の近似でも継続する。${\displaystyle q(t)}$システムの状態を、より高次の多項式で近似していくものとして。

原理的には任意の次数の QSS 法を使用して連続時間システムをモデル化できますが、アベル・ルフィニの定理によれば、次の量子化の時刻が 4 を超えるため、4 を超える次数の方法を使用することはめったに望ましくないことに注意することが重要です。${\displaystyle t}$は、多項式近似の次数が４より大きい場合、（一般に）代数的に明示的に解くことができないため、根探索アルゴリズムを使用して反復的に近似する必要があります。実際には、多くの問題に対して QSS2 または QSS3 で十分であり、より高次の方法を使用しても、追加的な利点はほとんど、あるいは全くありません。

• [CK06]フランソワ E. セリエ & エルネスト コフマン (2006)。連続システム シミュレーション(初版)。スプリンガー。ISBN  978-0-387-26102-7。
• [BK11] Bergero, Federico & Kofman, Ernesto (2011). "PowerDEVS: ハイブリッドシステムモデリングとリアルタイムシミュレーションのためのツール" (初版). Society for Computer Simulation International, San Diego. 

• QSSメソッドのスタンドアロン実装