プライム四つ子

数論において、素数四つ組（素数四つ組と呼ばれることもある）は、 { p、p + 2、p + 6、p + 8}という形式の4つの素数の集合である。 ^[1]これは、3より大きい4つの素数の最も近いグループ化を表し、長さが4の唯一の素数配列である。

最初の 8 つの素数四つ子は次のとおりです。

{ 5、7、11、13 }、 {11、 13、17、19 }、 { 101、103、107、109 }、 { 191、193、197、199 }、 {821、 823、 827、 829}、 {1481、 1483、 1487、 1489}、 {1871、 1873、 1877、 1879}、 {2081、 2083、 2087、 2089} ( OEISのシーケンスA007530 )

{5, 7, 11, 13}を除くすべての素数四つ子は、ある整数nに対して{30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17, 30 n + 19}という形式になります。(この構造は、4 つの素数がいずれも 2、3、または 5 で割り切れないことを保証するために必要です)。この形式の素数四つ子は素数十とも呼ばれます。

このような素数の 10 進法の中心は、210n + 15、210n + 105、210n + 195 の形式になります。これは、中心が 7 を法として -1、0、または +1 になる必要があるためです。+15 形式は (高い) 素数の 5 つ子を生成することもあります。+195 形式は (低い) 素数の 5 つ子を生成することもあります。一方、+105 形式は、両方の種類の 5 つ子と、おそらくは素数の 6 つ子を生成します。素数の 10 進法の各素数が、その中心から 2 の累乗、実際には 2 または 4 だけずれているのは偶然ではありません。これは、すべての中心が奇数であり、3 と 5 の両方で割り切れるためです。

素数四つ子は、連続する双子素数、重なり合う二つの素数三つ子、または混合された二つのセクシー素数ペアとして説明できます。これらの 11 以上の「四つ子」素数は、それぞれの中心に 8 を加えたり引いたりすることで、素数五つ子と素数六つ子の核を形成します。

素数四つ子が無限に存在するかどうかは不明である。無限に存在するという証明は双子素数予想を意味するが、双子素数のペアは無限に存在するが素数四つ子は有限個しか存在しないという現在の知識と矛盾しない。n = 2, 3, 4, ...の場合、10進数でn桁の素数四つ子の数は

1、3、7、27、128、733、3869、23620、152141、1028789、7188960、51672312、381226246、2873279651（OEISの配列A120120）。

2019年2月現在、^{[アップデート]}最大の素数四つ組は10132桁である。^{[2]これはピーター・カイザーによって発見された}p = 667674063382677 × 2 ³³⁶⁰⁸ − 1から始まる。

すべての素数四つ子の逆数の合計を表す定数、すなわち素数四つ子に対するブルンの定数はB ₄で表され、すべての素数四つ子の逆数の合計である。

$${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$$

値:

B4 = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005 _.

この定数は、 ( p , p + 4)の形式の素数ペアであるいとこ素数のブルン定数( B ₄とも表記)と混同しないでください。

素数四つ子{11、13、17、19}はイシャンゴ骨に現れるとされているが、これには異論がある。

最初の素数四つ子を除いて、2つの四つ子{ p、p + 2、p + 6、p + 8}と{ q、q + 2、q + 6、q + 8}の間の最短距離はq - p = 30です  。これが最初に出現するのは、p = 1006301、2594951、3919211、9600551、10531061、...（OEIS：A059925）です。

素数四つ子{ p、p + 2、p + 6、p + 8}のSkewes数は1172531です（Tóth（2019））。

{ p、p + 2、p + 6、p + 8 } が素数四つ組で、p − 4またはp + 12も素数である場合、5 つの素数は、5 つの素数の許容される最も近い集合である素数五つ組を形成します。 p + 12を含む最初のいくつかの素数五つ組は次のとおりです。

{5、7、11、13、17}、 {11、13、17、19、23}、 {101、103、107、109、113}、 {1481、1483、1487、1489、1493}、 {16061 、16063、 16067、16069、16073}、 {19421、19423、19427、19429、19433}、 {21011、21013、21017、21019、21023}、 {22271、22273、22277、 22279、22283}、 {43781、43783、43787、43789、43793}、 {55331、55333、55337、55339、55343} … OEIS : A022006。

p − 4となる最初の素数五つ子は次の通りです。

{7, 11, 13, 17, 19}、 {97, 101, 103, 107, 109}、 {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}、 {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647 、 5651、5653、5657、5659}、 {15727、15731、15733、15737、15739}、 {16057、16061、16063、16067、16069}、 {19417、19421、19423、 19427、 19429}、 {43777、43781、43783、43787、43789}、 {79687、79691、79693、79697、79699}、 {88807、88811、88813、88817、88819} ... OEIS : A022007。

素数五つ子には、2 つの近い双子素数、1 つの素数四つ子、および 3 つの重なり合う素数三つ子が含まれます。

素数五つ子が無限に存在するかどうかは不明です。もう一度言いますが、双子素数予想を証明しても、素数五つ子も無限に存在することが必ずしも証明されるわけではありません。また、素数四つ子が無限に存在することが証明されても、素数五つ子も無限に存在することが必ずしも証明されるわけではありません。

素数五つ子{ p、p + 2、p + 6、p + 8、p + 12}のSkewes数は21432401である（Tóth（2019））。

p − 4とp + 12の両方が素数であれば、それは素数六つ子になります。最初のいくつか:

{7、11、13、17、19、23}、 {97、101、103、107、109、113}、 {16057、16061、16063、16067、16069、16073}、 {19417、19421、 19423、19427、19429、19433}、 {43777、43781、43783、43787、43789、43793} OEIS : A022008

いくつかの情報源では、{5、7、11、13、17、19} を素数六つ子と呼ぶこともあります。私たちの定義、つまりすべての素数ケース{ p − 4、p、p + 2、p + 6、p + 8、p + 12} は、素数六つ子を 6 つの素数の許容される最も近い組み合わせとして定義することから得られます。

素数六つ子には、2 つの近い双子素数ペア、1 つの素数四つ子、4 つの重なり合う素数三つ子、および 2 つの重なり合う素数五つ子が含まれます。

{7, 11, 13, 17, 19, 23}を除くすべての素数 6 個組は、ある整数nに対して の形をとります。(この構造は、6 つの素数がいずれも2、3、5、または 7で割り切れないことを保証するために必要です)。 $${\displaystyle \{210n+97,\ 210n+101,\ 210n+103,\ 210n+107,\ 210n+109,\ 210n+113\}}$$

素数六つ子が無限に存在するかどうかは不明です。もう一度言いますが、双子素数予想を証明しても、必ずしも素数六つ子が無限に存在することが証明されるわけではありません。また、素数五つ子が無限に存在することが証明されても、必ずしも素数六つ子が無限に存在することが証明されるわけではありません。

連音符{ p、p + 4、p + 6、p + 10、p + 12、p + 16}のSkewes数は251331775687です（Tóth（2019））。

素数四つ子、五つ子、六つ子は素数星座の例であり、素数星座は素数k組の例です。素数星座は、最小素数pと最大素数p + nを持ち、次の 2 つの条件を満たす k個の素数のグループです。

• 素数qに対してqを法とする剰余がすべて表現されるわけではない
• 任意のkに対して、 nの値は最小値となる。

より一般的には、素数のkタプルは、最初の条件が満たされるが、必ずしも 2 番目の条件が満たされるわけではない場合に発生します。