パウンド・ドレーヴァー・ホール法

パウンド・ドレーヴァー・ホール（PDH）法は、レーザーから放射される光の周波数を安定した空洞にロックすることで安定化させる、広く使用されている強力な手法です。PDH法は、干渉計式重力波検出器、原子物理学、時間測定標準など幅広い用途に使用されており、その多くは周波数変調分光法などの関連技術も使用しています。RVパウンド、ロナルド・ドレーヴァー、ジョン・L・ホールにちなんで名付けられたPDH法は、1983年にグラスゴー大学と米国国立標準局に勤務するドレーヴァー、ホールらによって説明されました。^[1]この光学技術は、パウンドがマイクロ波空洞用に開発した古い周波数変調技術と多くの類似点があります。^[2]

レーザーによって生成される線幅はさまざまな条件によって決まるため、PDH 技術は、レーザー光源よりも安定した光キャビティがあれば、レーザーの線幅を制御および縮小する手段となります。あるいは、安定したレーザーが利用できる場合は、PDH 技術を使用して光キャビティ長の不安定性を安定化および/または測定することができます。^[3] PDH 技術は、強度とは無関係にレーザー放射の周波数に反応します。これは、サイドオブフリンジロックなど、レーザー周波数を制御する他の多くの方法も強度の不安定性の影響を受けるため、重要です。

近年、パウンド・ドレーバー・ホール法はレーザー周波数安定化の主流となっています。すべてのレーザーはある程度の周波数変動を示すため、高精度には周波数安定化が必要です。この不安定性は主に温度変化、機械的な欠陥、レーザーゲインダイナミクス^{[4]によって生じ、レーザーキャビティ長、レーザードライバーの電流と電圧の変動、原子遷移幅、その他多くの要因が変化します。PDH ロックは、レーザーを}アクティブに調整して安定した基準キャビティの共振条件に一致させること で、この問題の解決策の 1 つを提供します。

PDH 安定化によって得られる最終的な線幅は、いくつかの要因に依存します。信号解析の観点から、ロック信号のノイズは、ショット ノイズの限界によって生じるノイズよりも低くすることはできません。^[3]ただし、この制約により、レーザーをキャビティにどれだけ近づけることができるかが決まります。ロックがきつい場合、線幅はキャビティの絶対的な安定性に依存し、熱ノイズによって制限される可能性があります。^[5] PDH 技術を使用すると、40 mHz 未満の光線幅が実証されています。^[6]

特に、干渉計による 重力波検出の分野では、光共振器によって得られる感度の向上が重要な役割を果たしています。^{[7] PDH技術は、}原子物理学、時間測定標準、量子コンピュータなど、個々の量子状態の狭い分光プローブが必要な場合にも使用されます。

位相変調された光は、搬送周波数と 2 つのサイド バンドで構成され、2 つのミラー キャビティに向けられます。キャビティで反射された光は、高速光検出器を使用して測定されます。反射信号は、2 つの変更されていないサイド バンドと位相シフトされた搬送波成分で構成されます。光検出器の信号は、光変調と同位相の局部発振器でミックスダウンされます。位相シフトとフィルタリングの後、結果として得られる電子信号は、レーザー キャリアがキャビティとの共振からどれだけ離れているかを示す測定値となり、アクティブ安定化のためのフィードバックとして使用できます。フィードバックは通常、PDH エラー信号の読み取りを受け取り、それをレーザーにフィードバックしてキャビティとの共振にロックできる電圧に変換する PID コントローラを使用して実行されます。

PDH 技術の主な革新は、共振周波数を中心に対称なキャビティ伝送自体ではなく、デチューニングに関するキャビティ伝送の導関数を監視することです。これにより、サイドオブフリンジロックとは異なり、共振の両側でフィードバック信号の符号を正しく決定できます。導関数は、電子常磁性共鳴の場合と同様に、入力信号の急速な変調とそれに続く駆動波形との混合によって測定されます。

PDH 読み出し関数は、キャビティの共振状態の尺度となる。周波数に関してキャビティ伝達関数(対称かつ偶数) の導関数を取ると、周波数の奇関数となり、レーザーの出力周波数ωとキャビティの共振周波数ω _resの間に不一致があるかどうかだけでなく、ωがω _resより大きいか小さいかも示される。読み出し関数のゼロ交差は、キャビティ内の光の周波数による強度変動にのみ敏感であり、レーザー自体の強度変動には鈍感である。^[2]

周波数 f = ω /2πの光は、数学的には電場E ₀ e ^iωtで表すことができます。この光がβ sin( ω _m t )で位相変調されると、 ω _mは変調周波数、β は変調深度であり、結果として生じる電場E _{i は}次のようになります 。

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{i}}&=E_{0}e^{i(\omega t+\beta \sin(\omega _{\mathrm {m} }t))}\\&\approx E_{0}e^{i\omega t}[1+i\beta \sin(\omega _{\mathrm {m} }t)]\\&=E_{0}e^{i\omega t}\left[1+{\frac {\beta }{2}}e^{i\omega _{\mathrm {m} }t}-{\frac {\beta }{2}}e^{-i\omega _{\mathrm {m} }t}\right].\end{aligned}}}$

このフィールドは、3 つの周波数成分の重ね合わせとして考えることができます。最初の成分は角周波数ωの電界でキャリアと呼ばれ、2 番目と 3 番目の成分はそれぞれ角周波数ω + ω _mとω − ω _{mのフィールドで}サイドバンドと呼ばれます。

一般に、ファブリ・ペローの2つの鏡を持つ共振器から反射された光E _{r は}、共振器に入射する光E _iと次の伝達関数で関係付けられます。

${\displaystyle R(\omega )={\frac {E_{\text{r}}}{E_{\text{i}}}}={\frac {-r_{1}+(r_{1}^{2}+t_{1}^{2})r_{2}e^{i2\alpha }}{1-r_{1}r_{2}e^{i2\alpha }}},}$

ここで、α = ωL / cであり、r ₁とr ₂はキャビティのミラー 1 と 2 の反射係数、 t ₁とt _{2 は}ミラーの 透過係数です。

この伝達関数を位相変調光E _iに適用すると、反射光E _rが得られる：^[注1]

${\displaystyle E_{\text{r}}=E_{0}\left[R(\omega )e^{i\omega t}+R(\omega +\omega _{\mathrm {m} }){\frac {\beta }{2}}e^{i(\omega +\omega _{\mathrm {m} })t}-R(\omega -\omega _{\mathrm {m} }){\frac {\beta }{2}}e^{i(\omega -\omega _{\mathrm {m} })t}\right].}$

反射光のパワーP _{r は}電場の2乗の大きさE _r ^* E _rに比例し、代数的な操作をすると次の式が成り立つことが分かる。

${\textstyle {\begin{aligned}P_{\text{r}}=&\ P_{0}\left|R(\omega )\right|^{2}+P_{0}{\frac {\beta ^{2}}{4}}{\Big \{}\left|R(\omega +\omega _{\mathrm {m} })\right|^{2}+\left|R(\omega -\omega _{\mathrm {m} })\right|^{2}{\Big \}}\\&+P_{0}\beta {\Big \{}{\textrm {Re}}[\chi (\omega )]\cos {\omega _{\mathrm {m} }t}+{\textrm {Im}}[\chi (\omega )]\sin {\omega _{\mathrm {m} }t}{\Big \}}+({\text{terms in }}2\omega _{\mathrm {m} }).\end{aligned}}}$

ここでP ₀  ∝ | E ₀ | ^2はファブリ・ペロー共振器に入射する光のパワーであり、χは次のように定義される。

${\displaystyle \chi (\omega )=R(\omega )R^{*}(\omega +\omega _{\mathrm {m} })-R^{*}(\omega )R(\omega -\omega _{\mathrm {m} }).}$

このχ が最終的な関心量であり、ω − ω _resの反対称関数です。これはP _rから復調によって抽出できます。まず、反射ビームがフォトダイオードに向けられ、 P _rに比例する電圧V _{r が}生成されます。次に、この電圧が元の変調電圧の位相遅延バージョンと混合され、 V ′ _{r が}生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{r}}'&=V_{\text{r}}\cos(\omega _{\mathrm {m} }t+\varphi )\propto P_{\text{r}}\cos(\omega _{\mathrm {m} }t+\varphi ).\\\end{aligned}}}$

最後に、V ′ _{r は}ローパスフィルタに送られ、正弦波振動項が除去されます。この混合とローパスフィルタリングの組み合わせにより、χ を含む項のみを含む電圧Vが生成されます。

${\displaystyle V(\omega )\propto {\textrm {Re}}[\chi (\omega )]\cos \varphi +{\textrm {Im}}[\chi (\omega )]\sin \varphi .}$

理論上、χ は、 φ = 0とφ = π/2の2 つの復調パスを設定することで完全に抽出できます。実際には、ω _{mを適切に選択することで、} χ をほぼ完全に実数にしたり、ほぼ完全に虚数にしたりすることができるため、必要な復調パスは 1 つだけです。φが適切に選択されたV ( ω ) は、PDH 読み出し信号です。