ペレス・ホロデッキ基準

ペレス・ホロデッキの条件は、 2つの量子力学システムとの結合密度行列が 分離可能であるための必要条件である。これは、正の部分転置に対するPPT条件とも呼ばれる。2×2 次元および 2×3 次元の場合、この条件は十分条件でもある。これは、シュミット分解が適用されない混合状態の分離可能性を決定するために使用される。この定理は、1996 年にAsher Peres ^[1]と Horodecki 家 ( Michał、Paweł、およびRyszard ) ^[2]によって発見された。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

高次元では、このテストは決定的ではないため、エンタングルメントの証拠に基づくテストなどのより高度なテストで補完する必要があります。

ヒルベルト空間に作用する一般状態があるとすると、${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

その部分転置（B側に関して）は次のように定義される。

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho )=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes ( |k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

名前の一部は、状態の一部のみが転置されることを意味することに注意してください。より正確には、恒等マップがA パーティに適用され、転置マップが B パーティに適用されます。 ${\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$

この定義は、状態をブロック行列として記述すると、より明確に理解できます。

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}}$

ここで、各ブロックは次元 の正方行列です。すると、部分転置は次のようになります。 ${\displaystyle n=\dim {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle m=\dim {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}}$

基準は、 が分離可能な場合、のすべての固有値は非負であると述べています。言い換えると、 が負の固有値を持つ場合、はエンタングルメントであることが保証されます。これらのステートメントの逆は、積空間の次元が またはの場合にのみ真です。 ${\displaystyle \rho \;\!}$${\displaystyle \rho^{T_{B}}}$${\displaystyle \rho^{T_{B}}}$${\displaystyle \rho \;\!}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 2\times 3}$

結果は転置されたパーティに依存しません。なぜなら です。 ${\displaystyle \rho^{T_{A}}=(\rho^{T_{B}})^{T}}$

次の 2 量子ビットのWerner 状態族を考えてみましょう。

${\displaystyle \rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

これは、最大限にエンタングルメントされた状態であると、最大限に混合された状態である単位元 の凸結合と見なすことができます。${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }$

その密度行列は

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

そして部分転置

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

その最小の固有値は です。したがって、状態は に対してエンタングルメント状態です。 ${\displaystyle (1-3p)/4}$${\displaystyle 1\geq p>1/3}$

ρが分離可能な場合は、次のように書くことができる。

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}$

この場合、部分転置の効果はわずかです。

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}}$

転置写像は固有値を保存するため、 のスペクトルはのスペクトルと同じであり、特に は依然として半正定値である必要があります。したがって、も半正定値である必要があります。これは PPT 基準の必要性を証明しています。 ${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$${\displaystyle \rho _{i}^{B}\;\!}$${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$${\displaystyle \rho^{T_{B}}}$

PPT であることが 2 X 2 および 3 X 2 (2 X 3 と同等) の場合にも十分であることを示すことは、より複雑です。ホロデッキスによって、すべてのエンタングルメント状態に対してエンタングルメントの証拠が存在することが示されました。これは幾何学的性質の結果であり、ハーン-バナッハの定理を呼び出します(下記の参考文献を参照)。

エンタングルメントの証拠の存在から、すべての正の写像Λが正であることはρの分離可能性の必要十分条件であることを示すことができる。ここでΛは${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$

さらに、 から へのすべての正の写像は、およびのとき、完全に正の写像と完全に共正の写像の和に分解できます。言い換えると、そのような写像 Λ はすべて次のように表すことができます。 ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3}$

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,}$

ここで、およびは完全に正であり、T は転置写像です。これは Størmer-Woronowicz の定理に従います。 ${\displaystyle \Lambda_{1}}$${\displaystyle \Lambda_{2}}$

大まかに言えば、転置写像は、これらの次元で負の固有値を生成できる唯一の写像です。したがって、が正であれば、任意の Λ に対して は正です。したがって、 の場合でも、Peres-Horodecki 基準は分離可能性に対して十分であると結論付けることができます。 ${\displaystyle \rho^{T_{B}}}$${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6}$

しかし、高次元では、このように分解できないマップが存在し、基準はもはや十分ではありません。その結果、正の部分転置を持つエンタングルメント状態が存在します。このような状態は、束縛エンタングルメントであるという興味深い特性を持ちます。つまり、量子通信の目的で抽出することはできません。

ペレス・ホロデッキ基準は連続変数系に拡張されている。ラジア・サイモン^[3]は、カノニカル演算子の2次モーメントの観点からPPT基準の特定のバージョンを定式化し、それが-モードガウス状態に対して必要かつ十分であることを示した（一見異なるが本質的に同等のアプローチについては文献^[4]を参照）。後にサイモンの条件は-モードガウス状態に対しても必要かつ十分であるが、-モードガウス状態に対してはもはや十分ではないことがわかった^[5]。サイモンの条件は、カノニカル演算子の高次モーメントを考慮することで一般化できる^{[6] [7]}か、エントロピー測定を使用することで一般化できる。^{[8] [9]}${\displaystyle 1\oplus 1}$${\displaystyle 1\oplus n}$${\displaystyle 2\oplus 2}$

二部系の対称状態の場合、密度行列の部分転置の正値は、特定の二体相関の符号と関係している。ここで対称性とは、

${\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

が成り立ち、ここで は2 つのパーティと を交換するフリップまたはスワップ演算子です。対称部分空間の完全な基底は、およびの 形式で表されます。ここでに対しておよびが成り立つ必要があります 。ここで は 2 つのパーティの次元です。 ${\displaystyle F_{AB}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle m\neq n}$${\displaystyle \vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$${\displaystyle d}$

このような状態に対して、が正の部分転置を持つのは、^[10]${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0}$

はすべての演算子に対して成り立ちます。したがって、がいくつかの演算子に対して成り立つ場合、状態は非 PPTエンタングルメントを持ちます。 ${\displaystyle M.}$${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0}$${\displaystyle M}$

さらに、二部対称PPT状態は次のように記述できる。

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}\otimes M_{k},}$

ここで、確率はであり、 およびを満たします 。 ただし、量子ビットよりも大きいサブシステムの場合、は負の固有値を持つ可能性があるため、必ずしも物理的な純粋な密度行列であるとは限りません。この場合、エンタングルメント状態でさえ、分離可能な状態の形式に非常によく似た、単一パーティの非物理的状態のテンソル積の混合として記述できます。量子ビットの場合、は物理的な密度行列であり、これは、2 つの量子ビットに対してすべての PPT 状態が分離可能であるという事実と一致しています。 ${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k})=1}$${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{2})=1.}$${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle M_{k}}$

このような擬似混合の概念は、擬似分離状態の定義によって非対称状態や多成分状態にも拡張されている^[11]。

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}^{(1)}\otimes M_{k}^{(2)}\otimes ...\otimes M_{k}^{(N)},}$

ここで、 はサブシステムの数であり、 および を満たします。 単一のサブシステムの非物理的状態は、量子ビットよりも大きいシステムであっても、ブロッホ球の高次元相当に存在する状態です。分離可能状態は疑似分離可能状態のセットのサブセットですが、量子ビットの場合は 2 つのセットが互いに一致します。量子ビットよりも大きいシステムの場合、そのような量子状態はエンタングルメント化される可能性があり、この場合、PPT または非 PPT の 2 分割を持つことができます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{(n)})=1}$${\displaystyle {\rm {Tr}}[(M_{k}^{(n)})^{2}]=1.}$${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$

• カロル・ジチコフスキとインゲマル・ベングソン著『量子状態の幾何学』ケンブリッジ大学出版局、2006年
• Woronowicz, SL (1976). 「低次元行列代数の正値写像」.数理物理学レポート. 10 (2): 165–183. Bibcode :1976RpMP...10..165W. doi :10.1016/0034-4877(76)90038-0.