パンデジタル数

数学において、パンデジタル数とは、特定の基数において、その基数で使用される各桁が少なくとも 1 回は有効桁に含まれる整数です。たとえば、1234567890 (12 億 3456 万 7890) は、基数 10 のパンデジタル数です。

最初のいくつかのパンデジタル10進数は次のように与えられます（OEISのシーケンスA171102）。

1023456789、1023456798、1023456879、1023456897、1023456978、1023456987、1023457689

与えられた基数bにおける最小のパンデジタル数は、次の形式の整数である。

${\displaystyle b^{b-1}+\sum _{d=2}^{b-1}db^{b-1-d}={\frac {b^{b}-b}{(b-1)^{2}}}+(b-1)\times b^{b-2}-1}$

次の表は、いくつかの選択された基数の最小のパンデジタル数を示しています。

OEIS : A049363 は、最初の 18 個の塩基に対して基数 10 の値を提供します。

自明な意味では、すべての正の整数は単進法（または集計法）ではパンデジタルです。2進法では、0 と の形式の数（メルセンヌ数）を除いて、すべての整数がパンデジタルです。基数が大きくなるほど、パンデジタル数は少なくなりますが、基数の桁をすべて一緒に書き（ただし、ゼロを最上位桁として最初に置かず）、最後に最下位桁として x + 1 個のゼロを追加することで、桁が冗長な連続したパンデジタル数を常に見つけることができます。${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle b^{x}}$

逆に、基数が小さいほど、冗長な桁のないパンデジタル数は少なくなります。 2 は基数 2 では唯一のパンデジタル数ですが、基数 10 ではより多く存在します。

この用語は、冗長な桁のないパンデジタル数のみを指すために使用されることがあります。場合によっては、923456781 のように、有効桁としてゼロを持たない数値でもパンデジタルと呼ばれることがあります (これらは「ゼロなしのパンデジタル数」と呼ばれることもあります)。

10 進数のパンデジタル数は、冗長な桁がなければ素数にはなりません。0 から 9 までの数字の合計は 45 で、3 と 9 の両方の割り切れる規則を満たしています。最初の 10 進数のパンデジタル素数は 10123457689 です。OEIS : A050288にはさらにリストされています。

別の理由により、パンデジタル数 (単進数を除く任意の基数) がその基数で回文数となるためには、冗長な桁も必要です。基数 10 の最小のパンデジタル回文数は 1023456789876543201 です。

余分な桁がなく平方数でもある最大の全デジタル数は9814072356 = 99066 ²です。

ゼロのない全デジタルフリードマン数のうちの2つは、123456789 = ((86 + 2 × 7) ⁵ − 91) / 3 ⁴と、987654321 = (8 × (97 + 6/2) ⁵ + 1) / 3 ⁴です。

冗長な桁のない全デジタルフリードマン数は平方数です: 2170348569 = 46587 ² + (0 × 139)。

「パンデジタル近似」の概念は、 2004年にエリック・フリードマンによって導入されました。1から9までの数字（それぞれ1回だけ使用）と数学記号+ – × / ( ) . および^を使用すると、オイラー数 eはと近似でき、小数点まで正確です。 ^[1]この変種は正しい数字を生成します。^[2]${\displaystyle (1+9^{-4^{7\times 6}})^{3^{2^{85}}}}$${\displaystyle 1.8\cdot 10^{25}}$${\displaystyle (1+.2^{9^{7\times 6}})^{5^{3^{84}}}}$${\displaystyle 8.3\cdot 10^{39}}$

これまで述べてきたことの多くはローマ数字には当てはまりませんが、パンデジタル数字には MCDXLIV、MCDXLVI、MCDLXIV、MCDLXVI、MDCXLIV、MDCXLVI、MDCLXIV、MDCLXVI があります。OEIS :A105416に記載されているこれらは、各数字を 1 回だけ使用しますが、OEIS :A105417には繰り返しのあるパンデジタルローマ数字があります。

パンデジタル番号は、フィクションや広告で役立ちます。社会保障番号987-65-4321 は、広告で使用するために予約されているゼロなしのパンデジタル番号です。一部のクレジットカード会社は、冗長な数字を含むパンデジタル番号を架空のクレジットカード番号として使用しています (ゼロの文字列を使用する会社もあります)。

• 123456789 = 最初のゼロなしのパンデジタル数。
• 381654729 = 最初のn桁がnで割り切れる唯一のゼロなしのパンデジタル数。
• 987654321 = 冗長な桁のない最大のゼロなし全デジタル数。
• 1023456789 = 最初のパンデジタル数。
• 1234567890 = 数字が順番に並んだパンデジタル数。
• 3816547290 =多重割り切れるパンデジタル数。最初のn桁がnで割り切れる唯一のパンデジタル数。
• 9814072356 = 余分な数字のない最大のパンデジタル平方。これは99066 の平方です。
• 9876543210 = 冗長な桁のない最大の全デジタル数。
• 12345678987654321 = 0 以外のすべての数字が昇順と降順の両方で並んだパンデジタル数。これは111111111 の平方です。デムロ数を参照してください。これは回文数でもあります。

• シャンパーノウン定数
• パングラムは、AからZまでのすべての文字を少なくとも1回使用した単語（または文）であり、36進数のパンデジタル数はパングラムになります。

• Weisstein, Eric W.「パンデジタル数」。MathWorld。
• デ・ギースト、P. 9桁のページ[1]
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A050278 (パンデジタル数: 0 から 9 までの数字を含む数。バージョン 1: 各数字は 1 回だけ出現)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A050288 (パンデジタル素数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A050289 (ゼロなしのパンデジタル数: 1 から 9 までの数字を含み、0 を含まない数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A050290 (ゼロのないパンデジタル素数)」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。