割り切れる数

数学において、多分割数（または魔法数）とは、与えられた基数において数字abcde...を持ち、次のような性質を持つ数である。^[1]

1. 最初の数字aは0 ではありません。
2. 最初の 2 桁の数字abで構成される数は2 の倍数です。
3. 最初の 3 桁のabcで構成される数は3 の倍数です。
4. 最初の 4 桁の数字abcdで構成される数は4 の倍数です。
5. 等

を正の整数とし、を基数bで表したnの桁数とします。n が多重割り切れる数とは、すべての に対して、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle 1\leq i\leq k}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{b^{ki}}}\right\rfloor \equiv 0{\pmod {i}}}$。

例

例えば、10801は4を基数とする7桁の割り切れる数であり、

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-1}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{4096}}\right\rfloor =2\equiv 0{\pmod {1}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-2}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{1024}}\right\rfloor =10\equiv 0{\pmod {2}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-3}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{256}}\right\rfloor =42\equiv 0{\pmod {3}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-4}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{64}}\right\rfloor =168\equiv 0{\pmod {4}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-5}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{16}}\right\rfloor =675\equiv 0{\pmod {5}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-6}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{4}}\right\rfloor =2700\equiv 0{\pmod {6}},}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {10801}{4^{7-7}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10801}{1}}\right\rfloor =10801\equiv 0{\pmod {7}}.}$

任意の基数 に対して、割り切れる数は有限個しかありません。 ${\displaystyle b}$

次の表は、いくつかの基数bに対する最大の割り切れる数を示しています。ここで、A − Z は10 から 35 までの数字の値を表します。

を桁数とします。関数 は、基数 の桁を持つ多重割り切れる数の数を決定し、関数 は、基数 の多重割り切れる数の総数です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \Sigma (b)}$${\displaystyle b}$

が を基数とする桁付きの多重割り切れる数である場合、との間に で割り切れる数があれば、 を 桁付きの多重割り切れる数に拡張できます。 がより小さいか等しい場合、常にこの方法で桁の多重割り切れる数を - 桁の多重割り切れる数に拡張することができ、実際に複数の拡張が考えられます。 がより大きい場合、常にこの方法で多重割り切れる数を拡張できるとは限らず、が大きくなるにつれて、与えられた多重割り切れる数を拡張できる可能性は小さくなります。平均して、 桁付きの各多重割り切れる数は、さまざまな方法で 桁付きの多重割り切れる数に拡張できます。これにより、 の推定値は次のようになります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle bk}$${\displaystyle b(k+1)-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {b}{n}}}$${\displaystyle F_{b}(n)}$

${\displaystyle F_{b}(n)\approx (b-1){\frac {b^{n-1}}{n!}}.}$

nのすべての値を合計すると、この推定値は、およそ

${\displaystyle \Sigma (b)\approx {\frac {b-1}{b}}(e^{b}-1)}$

すべての数字は基数で表され、A〜Z を使用して 10 から 35 までの数字の値を表します。 ${\displaystyle b}$

5進数で割り切れる数は

1、2、3、4、11、13、20、22、24、31、33、40、42、44、110、113、132、201、204、220、223、242、311、314、330、 333、402、421、424、440、443、1102、1133、1322、2011、2042、2200、2204、2231、2420、2424、3113、3140、3144、3302、3333、 22、4211、 4242、4400、4404、4431、11020、11330、13220、20110、20420、22000、22040、22310、24200、24240、31130、31400、31440、33020、 33330、40220、42110、42420、44000、44040、44310、 110204、113300、132204、201102、204204、220000、220402、223102、242000、 242402、311300、314000、314402、330204、333300、402204、421102、424204、440000、440402、443102、1133000、1322043、 2042040、2204020、2420003、2424024、3113002、3140000、3144021、4022042、4211020、4431024、 11330000、13220431、20110211、 20420404、24200031、31400004、31440211、40220422、42110202、44310242、132204314、201102110、242000311、314000044、 0、443102421、1322043140、2011021100、3140000440、4022042200

5を底とするn桁 の最小の割り切れる数は

1、11、110、1102、11020、110204、1133000、11330000、132204314、1322043140、なし...

5を底とするn桁 の最大の割り切れる数は

4、44、443、4431、44310、443102、4431024、44310242、443102421、4022042200、なし...

5を基数とするn桁の割り切れる数の数は

4、10、17、21、21、21、13、10、6、4、0、0、0...

10進数で割り切れる数は

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、 42、44、46、48、50、52、54、56、58、60、62、64、66、68、70、72、74、76、78、80、82、84、86、88、90、 92、94、96、98、102、105、108、120、123、126、129、 141、144、147、162、165、168、180、183、186、189、201、204、207、222、225、228、243、246、249、261、264、267、282、285、288。 .. ( OEISの配列A144688 )

10を底とするn桁 の最小の割り切れる数は

1、10、102、1020、10200、102000、1020005、10200056、102000564、1020005640、10200056405、102006162060、1020061620604、 616206046、102006162060465、1020061620604656、10200616206046568、108054801036000018、1080548010360000180、 10805480103600001800、...（OEISの配列A214437）

10を底とするn桁 の最大の割り切れる数は

9、98、987、9876、98765、987654、9876545、98765456、987654564、98765456405、987606963096、9876069630960、 696309604、987606963096045、9876062430364208、98485872309636009、984450645096105672、9812523240364656789、 96685896604836004260、...（OEISの配列A225608）

10を基数とするn桁の割り切れる数の数は

9、45、150、375、750、1200、1713、2227、2492、2492、2225、2041、1575、1132、770、571、335、180、90、44、18、12、6、3、1、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0、0 、... (OEIS のシーケンスA143671 )

以下の例では、Pythonで多分割可能な数を検索します。

def  find_polydivisible ( base :  int )  - >  list [ int ]: 
"""割り切れる数を探します。""" numbers = [] previous = [ i for i in range ( 1 , base )] new = [] digits = 2 while not previous == [] : numbers.append ( previous ) for n in previous : for j in range ( 0 , base ) : number = n * base + j if number % digits == 0 : new.append ( number ) previous = new new = [ ] digits = digits + 1 return numbers    
      
           
      
      
        
        
           
                
                      
                     
                    
          
          
            
     

多分割数は、レクリエーション数学における次のよく知られた^[2]問題の一般化を表します。

1 から 9 までの数字を、最初の 2 桁が 2 の倍数、最初の 3 桁が 3 の倍数、最初の 4 桁が 4 の倍数、というように並べ、最終的に数字全体が 9 の倍数になるようにします。

この問題の解は、1から9までの数字がそれぞれ1回ずつ含まれるという追加条件付きの9桁の割り切れる数です。9桁の割り切れる数は2,492個ありますが、追加条件を満たすのは

381 654 729 ^[6]

多重割り切れる数に関するその他の問題には次のものがあります。

• 桁数に制限を加えた多重割り切れる数を見つける - 例えば、偶数桁のみを使った最も長い多重割り切れる数は

48 000 688 208 466 084 040

• 回文の割り切れる数を見つける- 例えば、最も長い回文の割り切れる数は

30 000 600 003

• 前述の例の一般的な単純な拡張は、0 から 9 までの数字を同様に並べて 10 桁の数字を作ることです。結果は 3816547290 になります。これは、パンデジタルの多重割り切れる数です。

• YouTube - 多分割可能な汎デジタル数