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オッペルマン予想は、素数の分布に関する数学の未解決問題である。[1]これは、ルジャンドル予想、アンドリカ予想、ブロカール予想と密接に関連しているが、それらよりも強い。 1877年3月に未発表の講義で発表したデンマークの数学者ルートヴィヒ・オッペルマンにちなんで名付けられた。[2]
声明
この予想は、任意の整数x > 1に対して 、その間に少なくとも1つの素数が存在するというものである。
- x ( x − 1) および x 2、
そして少なくとももう1つの素数
- x 2とx ( x + 1)。
これは、素数計算関数が各範囲の端点で不等な値を取らなければならないと述べているのと同等に表現することもできます。 [3]つまり、
- π ( x 2 − x) < π ( x 2 ) < π ( x 2 + x ) （ x > 1 の場合）
ここで、π ( x ) はx以下の素数の個数です。これら 2 つの範囲の終点は、 2 つのプロニック数の間の平方です。プロニック数のそれぞれは、ペアの三角数の 2 倍です。三角数のペアの合計は平方です。
結果
もしこの推測が正しいとすれば、ギャップの 大きさは
これはまた、 x 2と ( x + 1) 2の間に少なくとも2つの素数があることを意味し（1つはx 2からx ( x + 1)の範囲にあり、もう1つはx ( x + 1) から ( x + 1) 2 の範囲にあります）、この範囲に少なくとも1つの素数があるというルジャンドルの予想を補強します。任意の2つの奇数素数の間には少なくとも1つの非素数があるため、連続する奇数素数の平方の間には少なくとも4つの素数があるというブロカールの予想も示唆します。 [1]さらに、アンドリカの予想が述べているように、 2つの連続する素数間の最大の可能なギャップは、最大でもその数の平方根の2倍に比例する可能性があることを意味します。
この予想は、ウラム螺旋の 4 分の 1 回転ごとに少なくとも 1 つの素数が見つかることも意味します。
参照
参考文献
- ^ ab ウェルズ、デイビッド（2011）、素数：数学における最も神秘的な数字、ジョン・ワイリー＆サンズ、p. 164、ISBN 9781118045718。
- ^ Oppermann, L. ( 1882 )、「Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser」、Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder : 169–179
- ^ リベンボイム、パウロ（2004）、The Little Book of Bigger Primes、Springer、p. 183、ISBN 9780387201696。