ワンステップ方式

数値数学において、1ステップ法とマルチステップ法は、初期値問題を解くための計算方法の大きなグループです。常微分方程式が初期条件とともに与えられるこの問題は、すべての自然科学と工学科学で中心的な役割を果たしており、たとえば 経済科学や社会科学でもますます重要になっています。初期値問題は、動的プロセスを分析、シミュレート、または予測するために使用されます。

ワンステップ法の基本的な考え方は、与えられた開始点から始めて、目的の解に沿って段階的に近似点を計算するというものです。計算にさらにさかのぼる点も含めるマルチステップ法とは対照的に、ワンステップ法では次のステップに最も最近決定された近似値のみを使用します。ワンステップ法は、古い近似値から直接新しい近似値を計算する明示的方法と、方程式を解く必要がある暗黙的方法の 2 つのグループに大別できます。後者は、いわゆるスティフ初期値問題にも適しています。

最も単純かつ最古のワンステップ法である陽的オイラー法は、1768年にレオンハルト・オイラーによって発表されました。1883年に多段階法のグループが発表された後、カール・ルンゲ、カール・ホイン、ヴィルヘルム・クッタは1900年頃にオイラー法に大幅な改良を加えました。これにより、ワンステップ法の最も重要なクラスを形成するルンゲ・クッタ法の大きなグループが生まれました。20世紀にはさらに、外挿の考え方や、とりわけステップ幅の制御、つまり方法の個々のステップに適切な長さを選択することに関する考慮が生まれました。これらの概念は、現代のアプリケーションで発生する困難な初期値問題を、コンピュータ プログラムを使用して効率的かつ必要な精度で解くための基礎となっています。

17 世紀後半にイギリスの物理学者で数学者のアイザック・ニュートンと、それとは独立してドイツの博学者ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが開発した微分積分法は、近世科学の数学化の大きな推進力となった。これらの方法は解析学という数学的分野の出発点となり、すべての自然科学と工学科学において中心的な重要性を持つ。ライプニッツが微分積分法に至ったのは、与えられた曲線の接線を求める幾何学的問題からであったが、ニュートンは特定の時点での物理量の変化をどのように判定できるかという問題から出発した。^[1]

たとえば、物体が動く場合、その平均速度は単に移動距離を移動に要した時間で割った値です。しかし、ある時点 における物体の瞬間速度 を 数学的に定式化するには、極限遷移が必要です。長さ の短い時間間隔、移動距離、および対応する平均速度を考えます。時間周期 Δ 𝑡 がゼロに収束し、平均速度も固定値に近づく場合、この値は特定の時間 における(瞬間) 速度と呼ばれます。 が時間 𝑡 における物体の位置を表す場合、 と書き、の導関数を と呼びます。 ${\textstyle v(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle {\tfrac {\Delta x}{\Delta t}}}$${\textstyle v(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle v(t)=x'(t)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$

微分方程式モデルの方向への決定的なステップは、今度は逆の質問です。移動する物体の例では、速度が各時点 𝑡 で既知であり、これによって物体の位置が決定されます。この問題を明確に解くためには、時点 𝑡 0 における物体の初期位置も既知でなければならないことは明らかです。したがって、与えられた値およびで初期条件を満たす関数を探します。 ${\textstyle v(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x'(t)=v(t)}$${\displaystyle x'(t)=v(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

物体の位置 𝑥 をその速度から決定する例では、検索対象の関数の導関数が明示的に与えられています。ただし、ほとんどの場合、求められている変数 に対して常微分方程式の重要な一般的なケースが存在します。自然法則またはモデルの仮定により、決定する関数の導関数を(未知の) 値 および からどのように計算できるかを指定する関数関係がわかっています。さらに、初期条件を再度指定する必要があります。これは、たとえば、固定された時点での必要な変数の測定から取得できます。要約すると、次の一般的なタイプのタスクが存在します。方程式を満たす 関数を見つける${\displaystyle y}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}}$

が満たされ、ここで は与えられた関数です。 ${\displaystyle f}$

簡単な例としては、指数関数的に増加する変数が挙げられます。これは、瞬間的な変化、つまり導関数がそれ自体に比例することを意味します。したがって、成長率 と、たとえば初期条件 を使用します。 この場合、必要な解 𝑦 は、初等微分積分を使用してすでに見つけることができ、指数関数を使用して指定できます。${\displaystyle y}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y'(t)=\lambda y(t)}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle y(0)=y_{0}}$${\displaystyle y(t)=y_{0}e^{\lambda t}}$

微分方程式で必要な関数はベクトル値、つまり各 に対して を成分を持つベクトルにすることができます。これは 次元微分方程式系とも呼ばれます。運動する物体の場合、は次元ユークリッド空間での位置であり、は時刻 における速度です。したがって、微分方程式は、時間と空間の各ポイントでの方向と大きさを持つ軌道の速度を指定します。軌道自体は、これから計算されます。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y(t)=(y_{1}(t),\dotsc ,y_{d}(t))}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle t}$

上で例として検討した指数関数的増加の単純な微分方程式では、解関数を直接指定できます。これは、より複雑な問題では一般に不可能です。特定の追加条件下では、関数 に対して初期値問題に対する明確に決定された解が存在することを示すことができます。ただし、解析解法 (変数の分離、指数アプローチ、定数の変化など) を使用してこれを明示的に計算することはできなくなります。この場合、数値手法を使用して、求める解の近似値を決定できます。 ${\displaystyle f}$

常微分方程式の初期値問題の数値解法は、1 ステップ法とマルチステップ法の 2 つの大きなグループに大別できます。どちらのグループも、各点における目的の関数値の近似値を段階的に計算するという点で共通しています。1 ステップ法の特徴は、次の近似値 を決定するために「現在の」近似値 のみが使用されることです。一方、マルチステップ法では、以前に計算された近似値も使用されます。したがって、3 ステップ法では、に加えて と を使用して新しい近似値を決定します。 ${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\dotsc }$${\displaystyle y(t_{0}),y(t_{1}),y(t_{2}),\dotsc }$${\displaystyle t_{0} <t_{1} <t_{2} <\ldots }$${\displaystyle y_{j+1}}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle y_{j-1}}$${\displaystyle y_{j-2}}$${\displaystyle y_{j+1}}$${\displaystyle y_{j}}$

最も単純で基本的なワンステップ法は、明示的オイラー法で、スイスの数学者で物理学者のレオンハルト・オイラーが1768年に教科書『積分学の理論』で導入しました。^[2]この方法の考え方は、直線部分の勾配が点math>t_{j+1}</math>から点までの各ステップでで与えられる区分線形関数で、求める解を近似するというものです。詳しくは、問題の定義で、求める関数の値、つまり がすでに与えられています。ただし、この時点での導関数も既知であり、 が適用されます。これにより、解関数のグラフの接線を決定し、近似値として使用することができます。 点では、ステップサイズが の場合、次のようになります。${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle f(t_{j},y_{j})}$${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$${\displaystyle y'(t_{0})=f(t_{0},y_{0})}$${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$${\displaystyle h_{0}:=t_{1}-t_{0}}$

${\displaystyle y(t_{1})\approx y_{0}+h_{0}f(t_{0},y_{0})=:y_{1}}$。

この手順は次のステップに続きます。全体として、明示的オイラー法の計算規則は次のようになります。

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h_{j}f(t_{j},y_{j}),\quad j=0,1,2,\dotsc }$

増分とともに。^[3]${\displaystyle h_{j}=t_{j+1}-t_{j}}$

明示的オイラー法は、勾配を点間の解の挙動をより正確に近似する勾配に置き換える多くの一般化の出発点です。 1ステップ法のもう1つのアイデアは、勾配として使用する暗黙的オイラー法です。 一見すると、この選択はあまり適切ではないように見えますが、未知のものです。 しかし、手順として、次の式が得られます。 ${\displaystyle f(t_{j},y_{j})}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle t_{j+1}}$${\displaystyle f(t_{j+1},y_{j+1})}$${\displaystyle y_{j+1}}$

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h_{j}f(t_{j+1},y_{j+1})}$

そこから計算できる（必要であれば数値的手法を使用）。例えば、明示的オイラー法と暗黙的オイラー法の傾きの算術平均を傾きとして選択すると、暗黙的台形法が得られる。次に、例えば方程式の右辺の未知数を明示的オイラー法、いわゆるホイン法を使用して近似すると、この方法から明示的手法が得られる。^[4]これらすべての方法と他のすべての一般化には、ワンステップ法の基本的な考え方が共通している。ステップ ${\displaystyle y_{j+1}}$${\displaystyle y_{j+1}}$

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h_{j}\Phi }$

勾配は に依存でき、また(暗黙的メソッドの場合) にも依存します。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle y_{j+1}}$

この記事の導入部で考察したように、ワンステップ法の概念は次のように定義できる。初期値問題の解を求めると しよう。${\displaystyle y}$

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$、。${\displaystyle \quad y(t_{0})=y_{0}}$

解決策は

${\displaystyle y\colon I\to \mathbb {R} ^{d}}$

与えられた間隔に存在し、一意に決定されます。 ${\displaystyle I=[t_{0},T]}$

${\displaystyle t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}=T}$

区間内の中間位置とそれに対応する増分は次のように表される。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle h_{j}=t_{j+1}-t_{j}}$

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h_{j}\Phi (t_{j},y_{j},y_{j+1},h_{j})}$、${\displaystyle \quad j=0,\dotsc ,n-1}$

与えられた方法は、方法関数 を持つワンステップ法です。が に依存しない場合、それは明示的なワンステップ法と呼ばれます。 そうでない場合、 の方程式は各ステップで解かなければならず、その方法は暗黙的と呼ばれます。^[5]${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle y_{j+1}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

実用的なワンステップ手順では、計算された は、点 における正確な解の値の良い近似値となるはずです。変数は一般に次元ベクトルであるため、この近似値の品質は、点 における誤差としてベクトルノルムを使用して測定されます。ステップサイズがゼロに収束することを許容する場合、これらの誤差がすべて に対してすぐにゼロに収束することが望ましいです。ステップサイズが一定でない場合も考慮するために、 は、より正確には、使用されるステップサイズの最大値として定義され、すべての点での最大誤差の挙動は、の累乗と比較して考慮されます。与えられた初期値問題を解くワンステップ法は、推定値 が${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle y(t_{j})}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \|y_{j}-y(t_{j})\|}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle h}$${\displaystyle j}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \max _{j=0,\dotsc ,n}\|y_{j}-y(t_{j})\|\leq Ch^{p}}$

は十分に小さいすべての に適用され、 とは独立した定数です。^[6]収束次数は、さまざまなワンステップ法を比較するための最も重要なパラメータです。^[7]収束次数が高い方法では、通常、特定のステップサイズでの総誤差が小さくなるか、逆に、特定の精度を達成するために必要なステップ数が少なくなります。 の方法では、ステップサイズを半分にした場合、誤差は約半分にしかならないと予想されます。一方、収束次数が の方法では、誤差は約 倍に減少すると想定できます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle p=4}$${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{4}={\tfrac {1}{16}}}$

収束順序の定義で考慮される誤差は、一見複雑に見える 2 つの個別の要素で構成されています。一方では、もちろん、それらの誤差は、メソッド関数によって検索される関数の未知の勾配を近似することによってメソッドが 1 つのステップで生成する誤差に依存します。しかし、他方では、ステップの開始点が一般に正確な開始点 と一致しないことも考慮する必要があります。したがって、このステップ後の誤差は、前のステップですでに生成されたすべての誤差にも依存します。ただし、手順関数 の選択のみが異なる 1 ステップ手順の統一された定義により、( での特定の技術的条件下では) 1 つのステップでの誤差順序から収束順序、いわゆる一貫性順序を直接推測できることが証明できます。 ${\displaystyle \|y_{j}-y(t_{j})\|}$${\displaystyle (t_{j},y_{j})}$${\displaystyle (t_{j},y(t_{j}))}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

一貫性の概念は、現代の数値数学の一般的かつ中心的な概念です。方法の収束には、数値近似が正確な解とどの程度一致するかを調べることが含まれますが、簡単に言えば、一貫性の場合は「逆」の質問が行われます。正確な解が方法の仕様をどの程度満たしているかということです。この一般理論では、方法が収束するのは、一貫性があり安定している場合です。表記を簡素化するために、次の考察では、明示的な 1 ステップの手順を前提としています。

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+h\Phi (t_{j},y_{j},h)}$

一定のステップサイズを持つ解が存在する。真の解では、局所的打ち切り誤差（局所的プロセス誤差とも呼ばれる）は次のように定義される^[8]。${\displaystyle h}$${\displaystyle t\mapsto y(t)}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta (t,h)=y(t)+h\Phi (t,y(t),h)-y(t+h)}$。

したがって、厳密解が既知であると仮定し、点 でメソッドステップを開始し、点 での厳密解との差を形成する。これは、推定値が次の場合、 1ステップ法は一貫性順序を持つと定義する。${\displaystyle (t,y(t))}$${\displaystyle t+h}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \|\eta (t,h)\|\leq Ch^{p+1}}$

は、 に依存しない定数を持つ十分に小さいすべての に適用されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle h}$

一貫性順序と収束順序の定義の顕著な違いは、の代わりに のべき乗である。これは、ステップサイズのべき乗が局所誤差から大域誤差への移行中に「失われる」ことを意味すると明確に解釈できる。ワンステップ法の理論の中心となる次の定理が当てはまる: ^[9]${\displaystyle h^{p+1}}$${\displaystyle h^{p}}$

プロセス関数がリプシッツ連続であり、関連付けられた 1 ステップ プロセスの整合性順序が である場合、収束順序も になります。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

安定性の追加要件としてのプロセス関数のリプシッツ連続性は、微分方程式自体の関数がリプシッツ連続である場合、一般に常に満たされます。この要件は、初期値問題の明確な解決可能性を保証するために、ほとんどのアプリケーションでとにかく想定する必要があります。定理によれば、したがって、ワンステップ法の一貫性順序を決定すれば十分です。原理的には、これは をのべき乗にテイラー展開することで実現できます。実際には、高次の結果の式は非常に複雑でわかりにくくなるため、追加の概念と表記が必要になります。^[10]${\displaystyle f}$${\displaystyle \eta (t,h)}$${\displaystyle h}$

方法の収束順序は、ステップ サイズが 0 に収束するときの近似値の挙動を説明する漸近的なステートメントです。ただし、この方法で、特定の固定ステップ サイズに対して実際に有用な近似値が計算されるかどうかについては何も述べていません。Charles Francis Curtiss とJoseph O. Hirschfelderは、これが特定の種類の初期値問題で実際に大きな問題になる可能性があることを 1952 年に初めて説明しました。彼らは、化学反応速度論における一部の微分方程式系の解が明示的な数値法では計算できないことに気づき、そのような初期値問題を「硬い」と呼びました。^[11]特定の問題がどの程度硬いかを判断するための数学的基準は多数あります。硬い初期値問題は通常、一部の要素が非常に急速に一定になり、他の要素がゆっくりとしか変化しない微分方程式系です。このような挙動は、化学反応のモデリングでよく発生します。しかし、実際の応用において最も有用な剛性の定義は次の通りである。初期値問題が剛性であるとは、明示的なワンステップ法で解く際に、有用な解を得るためにステップサイズを「小さすぎる」値に選択しなければならない場合である。したがって、このような問題は暗黙的な方法を使用してのみ解くことができる。^[12]

この効果は、個々の方法が指数関数的減少にどのように対処するかを調べることで、より正確に説明できます。スウェーデンの数学者ゲルムンド・ダールキストによると、テスト方程式

${\displaystyle y'(t)=\lambda y(t),\quad y(0)=1}$

の解は指数関数的に減少します。隣の図は、陽的オイラー法と陰的オイラー法の例として、この一見単純な初期値問題に対するこれら2つのグループの手法の典型的な動作を示しています。陽的手法で大きすぎるステップサイズを使用すると、計算の過程で大きく振動する値が生成され、正確な解からどんどん遠ざかってしまいます。一方、陰的手法では、通常、任意のステップサイズに対する解が定性的に正しく、つまり近似値の指数関数的に減少するシーケンスとして計算されます。^[13]${\displaystyle \lambda <0}$${\displaystyle y(t)=e^{\lambda t}}$

より一般的には、上記のテスト方程式は の複素数値についても考慮されます。この場合、解は、つまり の実部が0 以下であるときに振幅が制限されたままになる振動です。これにより、硬い初期値問題に使用されるワンステップ法の望ましい特性、いわゆる A 安定性を定式化できます。 のすべての に対してテスト方程式に適用された任意のステップ サイズに対する近似値のシーケンスを計算し、それが有界のままである場合 (真の解のように)、その方法は A 安定と呼ばれます。暗黙のオイラー法と暗黙の台形法は、A 安定なワンステップ法の最も単純な例です。一方、明示的な方法は A 安定にならないことが示されています。^[14]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \operatorname {Re} (\lambda )\leq 0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\dotsc }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \operatorname {Re} (\lambda )\leq 0}$

フランスの数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシーが1820年頃に証明したように、オイラー法の収束次数は1である。ステップの両端点に存在する明示的オイラー法と暗黙的オイラー法の傾きを平均すると、 ^[15]区間全体にわたってより良い近似値が得られることが期待できる。実際、このようにして得られた暗黙的台形法は、 ${\displaystyle f(t_{j},y_{j})}$${\displaystyle f(t_{j+1},y_{j+1})}$

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+{\frac {h}{2}}{\Big (}f(t_{j},y_{j})+f(t_{j+1},y_{j+1}){\Big )}}$

収束次数は2である。この方法は安定性が非常に優れているが、暗黙的であるため、各ステップで𝑦𝑗+1の方程式を解く必要がある。この変数を方程式の右側で明示的オイラー法を使用して近似すると、結果はHeun ^{[16]の明示的方法になる。}

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+{\frac {h}{2}}{\Big (}f(t_{j},y_{j})+f{\big (}t_{j+1},y_{j}+hf(t_{j},y_{j}){\big )}{\Big )}}$、

これも収束次数2である。別の単純な次数2の明示的方法である改良オイラー法は、次の考察によって得られる。方法ステップの「平均」勾配は、ステップの中間、すなわち点における解𝑦の勾配である。しかし、解は未知であるため、ステップサイズの半分の明示的オイラーステップによって近似される。これは、次の手順になる。 ${\displaystyle y_{j+1}}$

${\displaystyle y_{j+1}=y_{j}+hf{\big (}t_{j}+{\tfrac {h}{2}},y_{j}+{\tfrac {h}{2}}f(t_{j},y_{j}){\big )}}$。

これらの2次のワンステップ法はすべて、1895年にドイツの数学者カール・ルンゲによってオイラー法の改良として発表されました。^[17]

前述の単純なワンステップ法のアイデアは、さらに一般化すると、重要なクラスのルンゲ・クッタ法につながります。たとえば、ホインの方法は次のようにより明確に表すことができます。まず、補助勾配、つまり明示的オイラー法の勾配が計算されます。これは、さらに補助勾配を決定するために使用されます。ここでは。次に、使用される実際のプロセス勾配は、補助勾配の加重平均として計算されます。つまり、ホインの方法では。この手順は、2つ以上の補助勾配に一般化できます。- 段階ルンゲ・クッタ法では、まず適切なポイントで を評価して補助勾配を計算し、次に加重平均として計算します。明示的ルンゲ・クッタ法では、補助勾配は直接次々に計算されます。暗黙的方法では、補助勾配は連立方程式の解として得られます。典型的な例は、次数4の明示的古典的ルンゲ・クッタ法で、単にルンゲ・クッタ法と呼ばれることもあります。まず、4つの補助勾配^[18]${\displaystyle k_{1}=f(t_{j},y_{j})}$${\displaystyle k_{2}=f(t_{j}+h,y_{j}+hk_{1})}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}k_{1}+{\tfrac {1}{2}}k_{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k_{1},\dotsc ,k_{s}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dotsc }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{j},y_{j})\\k_{2}&=f(t_{j}+{\tfrac {h}{2}},y_{j}+{\tfrac {h}{2}}k_{1})\\k_{3}&=f(t_{j}+{\tfrac {h}{2}},y_{j}+{\tfrac {h}{2}}k_{2})\\k_{4}&=f(t_{j}+h,y_{j}+hk_{3})\end{aligned}}}$

そして加重平均はプロセス勾配として計算される。

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}k_{1}+{\tfrac {1}{3}}k_{2}+{\tfrac {1}{3}}k_{3}+{\tfrac {1}{6}}k_{4}}$

が使用されます。このよく知られた方法は、カール・ホインが1年前に3段階1段階法を発見した後、ドイツの数学者ヴィルヘルム・クッタによって1901年に発表されました。 ^[19]

より高次の明示的方法を構築し、可能な限り少ないステップ数で済ませることは、数学的に非常に難しい問題である。ジョン・C・ブッチャーが1965年に示したように、例えば、次数5では最小6ステップしかなく、次数8の明示的ルンゲ・クッタ法では少なくとも11ステップが必要である。1978年、オーストリアの数学者エルンスト・ヘアラーは、 17レベルの次数10の方法を発見した。このような方法の係数は、1205の行列式方程式を満たす必要がある。暗黙的ルンゲ・クッタ法では、^[20]状況はより単純かつ明確である。ステップ数ごとに次数 の方法があり 、これは達成可能な最大次数でもある。^[21]${\displaystyle s}$${\displaystyle p=2s}$

外挿の考え方は、1 ステップ法による初期値問題の解法に限定されず、解くべき問題をステップ サイズ で離散化するすべての数値法に同様に適用できます。外挿法のよく知られた例は、積分の数値計算のためのロムバーグ積分です。一般に、を数値的に決定される値、この記事の場合、たとえば、特定の点における初期値問題の解関数の値とします。数値法、たとえば 1 ステップ法では、この近似値が計算されますが、これはステップ サイズ の選択に依存します。この方法は収束する、つまり がゼロに収束するときにが収束すると想定されます。ただし、この収束は純粋に理論的な記述に過ぎません。有限の数の異なるステップ サイズ に対して近似値を計算できますが、もちろんステップ サイズが「ゼロに収束」することは許されないからです。しかし、異なるステップサイズで計算された近似値は、（未知の）関数に関する情報として解釈することができます。外挿法では、補間多項式、つまり^[22]の多項式で近似されます。${\displaystyle h}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\tilde {v}}(h)}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle {\tilde {v}}(h)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\tilde {v}}(h_{1}),{\tilde {v}}(h_{2}),\dotsc ,{\tilde {v}}(h_{m})}$${\displaystyle h_{1}>h_{2}>\ldots >h_{m}}$${\displaystyle {\tilde {v}}}$${\displaystyle {\tilde {v}}}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P(h_{k})={\tilde {v}}(h_{k})}$

に対してである。点における多項式の値は、ゼロに向かうの計算不可能な極限値の計算可能な近似値として使用される。初期値問題に対する初期の成功した外挿アルゴリズムは、1966年にローランド・ブリルシュとヨーゼフ・ストーアによって発表された。^[23]${\displaystyle k=1,2,\dotsc ,m}$${\displaystyle P(0)}$${\displaystyle h=0}$${\displaystyle {\tilde {v}}(h)}$${\displaystyle h}$

1ステップ法の具体的な例で外挿の一般的な手順を説明する。このような方法では、小さなステップサイズℎの計算された近似値は、次の形式の多項式で簡単に記述できる。 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle P(h)=a+bh^{p}}$

最初はパラメータが未知で、です。 ここで、法を使用してステップ サイズとステップ サイズの半分に対して2 つの近似値とを計算すると、補間条件とから未知数 と の 2 つの線形方程式が得られます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y_{h_{1}}}$${\displaystyle y_{h_{2}}}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}={\tfrac {1}{2}}h_{1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle P(h_{1})=y_{h_{1}}}$${\displaystyle P(h_{2})=y_{h_{2}}}$

推定された値は 

${\displaystyle P(0)=a=y_{h_{2}}+{\frac {y_{h_{2}}-y_{h_{1}}}{2^{p}-1}}}$

は、一般的に最初に計算された2つの値よりも大幅に優れた近似値となります。このようにして得られた1ステップ法の次数は少なくとも、つまり元の方法よりも少なくとも1大きいことが示されます。^[24]${\displaystyle p+1}$

ワンステップ法の利点の 1 つは、各ステップ 𝑗 で、他のステップとは独立して任意のステップ サイズを使用できることです。実際には、ℎ 𝑗 をどのように選択するかという疑問が当然生じます。実際のアプリケーションでは、初期値問題の解を計算する際に常に許容誤差が存在します。たとえば、測定誤差の影響を受ける、与えられた問題の初期値とパラメータのデータよりも大幅に「正確」な数値近似値を決定することは無意味です。したがって、目標は、一方では指定された許容誤差を順守し、他方では計算の労力を最小限に抑えるために、可能な限り少ないステップ数を使用するようにステップ サイズを選択することです。常微分方程式が初期条件とともに与えられるこの問題は、すべての自然科学と工学科学で中心的な役割を果たしており、たとえば経済科学や社会科学でもますます重要になっています。初期値問題は、動的プロセスを分析、シミュレーション、予測するために使用されます。^[25]${\displaystyle j}$

条件が整った初期値問題の場合、全体的なプロセス誤差は、個々のステップにおける局所的な打ち切り誤差の合計にほぼ等しいことが示されます。したがって、ステップサイズとして、選択した許容しきい値を下回る可能な限り最大のものを選択する必要があります。ここでの問題は、が点における初期値問題の正確な解が不明であるため、直接計算できないことです。したがって、ステップサイズ制御の基本的な考え方は、基礎となる基本方法よりも正確な方法で近似することです。^[26]${\displaystyle \eta _{j}:=\|\eta (t_{j},h_{j})\|}$${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle \eta _{j}}$${\displaystyle \eta _{j}}$${\displaystyle y(t_{j})}$${\displaystyle t_{j}}$${\displaystyle y(t_{j})}$

ステップ幅制御の基本的な考え方は、ステップ幅の半分化と埋め込みプロセスである。ステップサイズの半分化では、実際のプロセスステップに加えて、ステップサイズが半分の2つのステップの結果が比較値として計算される。次に、外挿によって両方の値から のより正確な近似値が決定され、ローカルエラー 𝜂 𝑗 が推定される。これが大きすぎる場合、このステップは破棄され、より小さなステップサイズで繰り返される。指定された許容値よりも大幅に小さい場合は、次のステップでステップサイズを大きくすることができる。^[27]このステップ幅の半分化手順の追加の計算量は比較的大きいため、最新の実装では通常、ステップ幅制御にいわゆる埋め込み手順が使用される。基本的な考え方は、収束の順序が異なる2つのワンステップ法を使用して、各ステップで の2つの近似値を計算し、ローカルエラーを推定するというものである。計算量を最適化するには、2つの方法にできるだけ多くの計算ステップが共通している必要がある。つまり、それらは「互いに埋め込まれている」必要がある。例えば、埋め込みルンゲ・クッタ法では、同じ補助勾配を使用し、平均化の方法のみが異なります。よく知られている埋め込み法には、ルンゲ・クッタ・フェールベルグ法（Erwin Fehlberg  [de]、1969年）とドルマン・プリンス法（JR DormandとPJ Prince、1980年）があります。^[28]${\displaystyle y(t_{j})}$${\displaystyle y(t_{j})}$

この記事で概説した数学的概念については、ユーザーが実用的な問題を数値的に簡単に解くことができるソフトウェア実装が数多く開発されています。具体的な例として、人気の数値ソフトウェア Matlab を使用して、ロトカ・ヴォルテラ方程式の解を計算します。ロトカ・ヴォルテラ方程式は、捕食者と被食者の集団間の相互作用を説明する生物学のシンプルなモデルです。微分方程式系を考えると、

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'(t)&=ay_{1}(t)-by_{1}(t)y_{2}(t)\\y_{2}'(t)&=cy_{1}(t)y_{2}(t)-dy_{2}(t)\end{aligned}}}$

パラメータと初期条件で表されます。ここで、と はそれぞれ獲物と捕食者の個体数の時間的変化に対応します。解は時間間隔 で計算する必要があります。 ${\displaystyle a=1,b=2,c=1,d=1}$${\displaystyle y_{1}(0)=3}$${\displaystyle y_{2}(0)=1}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle [0,20]}$

Matlab を使用した計算では、まず微分方程式の右側の指定されたパラメータ値に対して関数が定義されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle y'=f(t,y)}$

a = 1 ; b = 2 ; c = 1 ; d = 1 ; f = @( t , y ) [ a * y ( 1 ) - b * y ( 1 ) * y ( 2 ); c * y ( 1 ) * y ( 2 ) - d * y ( 2 )];           
        

時間間隔と初期値も必要です。

t_int = [ 0 , 20 ]; y0 = [ 3 ; 1 ];   
   

すると、解は次のように計算されます。

[ t , y ] = ode45 ( f , t_int , y0 );     

Matlab関数は、ode45ステップサイズ制御のために収束次数4と5の2つの埋め込み明示的ルンゲ・クッタ法を使用するワンステップ法を実装します。^[29]

解は青い曲線と赤い曲線として プロットできます。計算された点は小さな円でマークされます。${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

図( 1 )
プロット( t , y (:, 1 ), 'bo' , t , y (:, 2 ), 'ro' )     

結果は、以下の左側の画像に示されています。右側の画像は、この方法で使用されたステップサイズを示しており、

図( 2 )
プロット( t ( 1 : end - 1 ), diff ( t )) 

この例は、無料の数値計算ソフトウェア GNU Octave を使用して変更なしで実行することもできます。ただし、そこで実装された方法では、ステップ サイズのシーケンスが若干異なります。

• ジョン・C・ブッチャー（2008年）『常微分方程式の数値解析法』チチェスター：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-470-72335-7
• Wolfgang Dahmen、Arnold Reusken (2008)、「Kap. 11: Gewöhnliche Differentialgleichungen」、Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler (2 版)、ベルリン/ハイデルベルク: Springer、ISBN 978-3-540-76492-2
• Peter Deuflhard、Folkmar Bornemann (2008)、Numerische Mathematik 2 – Gewöhnliche Differentialgleichungen (3 版)、ベルリン: Walter de Gruyter、ISBN 978-3-11-020356-1
• David F. Griffiths、Desmond J. Higham (2010)、常微分方程式の数値解析法 - 初期値問題、ロンドン：Springer、ISBN 978-0-85729-147-9
• Robert Plato (2010)、「Kap. 7: Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme」、Numerische Mathematik kompakt (4 版)、ヴィースバーデン: Vieweg+Teubner、ISBN 978-3-8348-1018-2
• Hans-Jürgen Reinhardt (2012)、Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (2 版)、ベルリン/ボストン: Walter de Gruyter、ISBN 978-3-11-028045-6
• Hans Rudolf Schwarz、Norbert Köckler (2011)、「Kap. 8: Anfangswertprobleme」、Numerische Mathematik (8 版)、ヴィースバーデン: Vieweg+Teubner、ISBN 978-3-8348-1551-4
• Karl Strehmel、Rüdiger Weiner、Helmut Podhaisky (2012)、Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (2 版)、ヴィースバーデン: Springer Spektrum、ISBN 978-3-8348-1847-8{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

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• ピーター・スペルッチ (2007)。 「Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen」(PDF) 。2018年8月20日に取得。
• Hans U. Fuchs (2007). 「微分方程式の数値解析法」(PDF) . 2018-08-20に閲覧。
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