ニュートン多項式

数値解析の数学の分野において、発明者アイザック・ニュートンにちなんで名付けられたニュートン多項式^[1]は、与えられたデータ点の集合に対する補間多項式です。ニュートン多項式は、多項式の係数がニュートンの差分法を使用して計算されるため、ニュートンの差分補間多項式と呼ばれることもあります。

k  + 1個のデータポイント の集合が与えられた場合

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

2つのx _jは同じではないが、ニュートン補間多項式はニュートン基底多項式の線形結合である。

${\displaystyle N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)}$

ニュートン基底多項式は次のように定義される。

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})}$

j > 0 かつの場合。 ${\displaystyle n_{0}(x)\equiv 1}$

係数は次のように定義される。

${\displaystyle a_{j}:=[y_{0},\ldots,y_{j}]}$

どこ

${\displaystyle [y_{0},\ldots,y_{j}]}$

は差額商を表す表記法です。

したがって、ニュートン多項式は次のように書ける。

${\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).}$

ニュートン多項式は、等間隔で連続して並べると簡略化された形で表現できます。 ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$

が連続して等間隔に配置され、i = 0, 1, ..., kで、ある変数 x が と表される場合、差はと表すことができます。したがって、ニュートン多項式は次のようになります。 ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}}$${\displaystyle {x}_{i}={x}_{0}+ih}$${\displaystyle {x}={x}_{0}+sh}$${\displaystyle x-x_{i}}$${\displaystyle (si)h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}]sh+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}]s(s-1)\cdots (s-k+1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}s(s-1)\cdots (s-i+1){h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}]\\&=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}i!{h}^{i}[y_{0},\ldots ,y_{i}].\end{aligned}}}$

これはニュートン前進差分法と呼ばれます。^[要出典]

ノードを のように並べ替えると、ニュートン多項式は ${\displaystyle {x}_{k},{x}_{k-1},\dots ,{x}_{0}}$

${\displaystyle N(x)=[y_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}](x-{x}_{k})+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}](x-{x}_{k})(x-{x}_{k-1})\cdots (x-{x}_{1}).}$

がi = 0, 1, ..., kに対して等間隔に配置されている場合、 ${\displaystyle {x}_{k},\;{x}_{k-1},\;\dots ,\;{x}_{0}}$${\displaystyle {x}_{i}={x}_{k}-(k-i)h}$${\displaystyle {x}={x}_{k}+sh}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N(x)&=[{y}_{k}]+[{y}_{k},{y}_{k-1}]sh+\cdots +[{y}_{k},\ldots ,{y}_{0}]s(s+1)\cdots (s+k-1){h}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}i!{h}^{i}[{y}_{k},\ldots ,{y}_{k-i}].\end{aligned}}}$

これはニュートン後退差分法の公式と呼ばれます。^[要出典]

ニュートンの公式は、テイラー多項式の単純で自然な差分バージョンであるため、興味深いものです。テイラー多項式は、関数のy値と、特定のx値での導関数 (変化率、変化率の変化率など) に基づいて、関数がどこに向かうかを示します。ニュートンの公式は、瞬間的な変化率ではなく 有限差分に基づくテイラー多項式です。

のノードで補間する n 以下の次数の多項式について。のノードで補間する n+1 以下の次数の多項式を とします。 は次のように表されます。 ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n}$${\displaystyle p_{n+1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n,n+1}$${\displaystyle p_{n+1}}$

$${\displaystyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$$

ここで、および。 ${\textstyle w_{n}(x):=\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})}$${\textstyle a_{n+1}:={f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}}$

証拠：

これは、次の場合に示されます。また、次の場合にも示されます。 ${\displaystyle i=0,1,2,3,\cdots ,n}$$${\displaystyle p_{n+1}(x_{i})=p_{n}(x_{i})+a_{n+1}\prod _{j=0}^{n}(x_{i}-x_{j})=p_{n}(x_{i})}$$${\displaystyle i=n+1}$

$${\displaystyle p_{n+1}(x_{n+1})=p_{n}(x_{n+1})+{f(x_{n+1})-p_{n}(x_{n+1}) \over w_{n}(x_{n+1})}w_{n}(x_{n+1})=f(x_{n+1})}$$

より小さい次数の補間多項式の一意性により、は必要な多項式補間です。したがって、関数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle n+1}$${\textstyle p_{n+1}(x)=p_{n}(x)+a_{n+1}w_{n}(x)}$

${\textstyle p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots +a_{n}(x-x_{0})\cdots (x-x_{n-1})}$

ここで、因子は差で割ったものである。したがって、ニュートン多項式はn点の多項式補間式を提供するのに用いられる。^[2]${\displaystyle a_{i}}$

ニュートン差分法の未知の関数 を とすると、前のセクションでの x の表現が とされた場合、前進差分に関して、ニュートン前進補間法は次のように表されます。一方、後退差分に関して同じを とすると、ニュートン後退補間法は次のように表されます。これは、差分法と前進差分の関係が次のように与えられるため、次の式が成り立ちます。^[3]一方、後退差分の場合は、次のように与えられます。^[要出典]${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})}$${\displaystyle x=x_{j}+sh}$$${\displaystyle f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{s \choose i}\Delta ^{(i)}f(x_{j})}$$$${\displaystyle f(x)\approx N(x)=N(x_{j}+sh)=\sum _{i=0}^{k}{(-1)}^{i}{-s \choose i}\nabla ^{(i)}f(x_{j}).}$$$${\displaystyle [y_{j},y_{j+1},\ldots ,y_{j+n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\Delta ^{(n)}y_{j},}$$$${\displaystyle [{y}_{j},y_{j-1},\ldots ,{y}_{j-n}]={\frac {1}{n!h^{n}}}\nabla ^{(n)}y_{j}.}$$

他の差分公式と同様に、ニュートン補間多項式の次数は、既存の項や点を破棄せずに、さらに項や点を追加することで増やすことができます。ニュートンの形式は、新しい点が常に一方の端に追加されるという単純さを持っています。ニュートンの順方向公式は右側に新しい点を追加でき、ニュートンの逆方向公式は左側に新しい点を追加できます。

多項式補間の精度は、補間された点が、使用される点セットのx値の中央にどれだけ近いかによって決まります。当然、一方の端に新しい点が追加されるにつれて、その中央は最初のデータ ポイントからどんどん遠ざかります。したがって、必要な精度を得るために必要な点の数がわからない場合、x 値の中央は補間が行われる場所から遠く離れている可能性があります。

ガウス、スターリング、ベッセルはいずれもこの問題を解決するための公式を開発しました。^[4]

ガウスの公式は、左端と右端に交互に新しい点を追加し、点の集合を同じ場所（評価点の近く）の中心に保ちます。その際、ニュートンの公式の用語が使用され、データ ポイントとx値は、どのデータ ポイントをx ₀データ ポイントとして指定するかの選択に応じて名前が変更されます。

スターリングの式は特定のデータ ポイントを中心に据えられ、評価されるポイントが 2 つのデータ ポイントの中央よりも 1 つのデータ ポイントに近い場合に使用されます。

ベッセルの公式は、評価される点がデータ点よりも中央に近い場合に使用するために、2 つのデータ点間の特定の中央を中心に据えられます。

ベッセルとスターリングは、ニュートンやガウスが 1 つの差または積だけを使用するのに対し、 2 つの差の平均を使用したり、 xの二項式の 2 つの積の平均を使用したりすることでこれを実現します。スターリングは、奇数次項の平均差 (その差は偶数のデータ ポイントを使用します) を使用します。ベッセルは、偶数次項の平均差 (その差は奇数のデータ ポイントを使用します) を使用します。

与えられた有限データ ポイント セットに対して、それらすべてを通過する最小次数の多項式は 1 つだけ存在します。したがって、補間多項式の「ニュートン形式」またはラグランジュ形式などと呼ぶのが適切です。ただし、この多項式を計算する方法が異なると、計算効率も異なります。ガウス、ベッセル、スターリングなどの類似した方法がいくつかあります。これらは、データ ポイントのx値の名前を変更することでニュートンの方法から派生できますが、実際には重要です。

ベッセルとスターリングのどちらを選択するかは、補間されたポイントがデータ ポイントに近いか、または 2 つのデータ ポイントの中央に近いかによって決まります。

多項式補間の誤差は、補間点がデータ点に近づくにつれてゼロに近づきます。したがって、スターリングの公式は、最も必要とされないところで精度の向上をもたらし、ベッセルは、最も必要とされるところで精度の向上をもたらします。

したがって、ベッセルの公式は、最も一貫して正確な差分公式であり、一般的に、よく知られている多項式補間公式の中で最も一貫して正確な公式であると言えます。

ラグランジュ法は、より少ない作業で済むと言われることもあり、十分な精度を得るために必要な項数が過去の経験から事前にわかっている問題に推奨されることもあります。

差分法の利点は、より多くのデータ ポイントを追加して精度を向上できることです。以前のデータ ポイントに基づく項を引き続き使用できます。通常のラグランジュの公式では、より多くのデータ ポイントで問題を解決するには、問題全体をやり直す必要があります。

新しいデータ ポイントを追加するときに計算全体をやり直す必要がない「重心」バージョンのラグランジュがあります。ただし、各項の値を記録する必要があります。

しかし、ガウス、ベッセル、スターリングは、データ ポイントを補間点の中心近くに維持できるため、必要なデータ ポイントの数が事前にわからない場合に、ラグランジュよりも有利です。

さらに、ある特定の種類の問題に対して、線形補間が十分に正確であるかどうかを調べたいとします。これは、商差の公式の 2 次項を評価することで判断できます。2 次項が無視できる場合、つまり 2 次項を追加しなくても線形項が十分に正確である場合、線形補間は十分に正確です。問題が十分に重要である場合、または 2 次項がほぼ重要になるほど大きい場合は、2 次項と 3 次項の合計が問題で重要になるほど大きいかどうかを判断したい場合があります。

もちろん、このような決定には差額法のみを使用できます。

この目的のために、差分商の式および/またはそのx ₀ポイントは、式の線形項に、対象の線形補間が行われる 2 つのデータ ポイントが使用されるように選択する必要があります。

差額商の公式は汎用性が高く、より多くの種類の問題に役立ちます。

ラグランジュの公式は、すべての補間が 1 つのx値で実行され、データ ポイントのy値のみが問題ごとに変化し、十分な精度を得るために必要な項の数が過去の経験からわかっている場合に最適です。

ニュートン形式の補間多項式では、項を組み合わせて多項式の係数を求めるためのコンパクトで効果的なアルゴリズムが存在します。^[5]

スターリングやベッセルの補間で、使用される最後の項に 2 つの差の平均が含まれる場合、同じ多項式の次数に対してニュートンや他の多項式補間が使用するポイントよりも 1 つ多くポイントが使用されます。したがって、その場合、スターリングやベッセルの補間は、N −1 次多項式をNポイントに通すのではなく、ニュートンの補間との同等性と引き換えに、より優れた中心化と精度を得ています。そのため、これらの方法は、特定の多項式の次数に対して、他の多項式補間よりも潜在的に高い精度が得られる場合があります。

x _i = iの特別な場合については、ニュートン多項式とも呼ばれる、一般的な議論の二項係数にすぎない密接に関連した多項式の集合が存在する。つまり、ニュートン多項式は次のように表される。 ${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}$

この形式では、ニュートン多項式はニュートン級数を生成します。これは、一般差分多項式の特殊なケースであり、一般化差分方程式を通じて解析関数を表現できます。

補間問題を解くことは、線形代数の問題につながり、線形方程式のシステムを解く必要があります。補間多項式に標準の単項式基底を使用すると、非常に複雑なヴァンデルモンド行列が得られます。別の基底であるニュートン基底を選択すると、はるかに単純な下三角行列を持つ線形方程式のシステムが得られ、より速く解くことができます。

k + 1個のデータポイントに対して ニュートン基底を次のように構築する。

${\displaystyle n_{0}(x):=1,\qquad n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})\qquad j=1,\ldots ,k.}$

これらの多項式を基礎として、我々は解く必要がある。 ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&\ldots &&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\\\\vdots \\\\a_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\\\\vdots \\\\y_{k}\end{bmatrix}}}$

多項式補間問題を解きます。

この連立方程式は次のように反復的に解くことができる。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}a_{i}n_{i}(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\dots ,k.}$

補間式は線形方程式を解くことで見つけることができますが、式が何を示しているかは直感的にわかりにくく、ニュートンの補間式がなぜ機能するかはすぐにはわかりません。まず、次の 2 つの事実を明らかにする必要があります。

事実 1. 差額の項を逆にしても差額は変わりません。${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n}]=[y_{n},\ldots ,y_{0}].}$

この証明は簡単な帰納法でできる。 ${\displaystyle n=1}$$${\displaystyle [y_{0},y_{1}]={\frac {[y_{1}]-[y_{0}]}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {[y_{0}]-[y_{1}]}{x_{0}-x_{1}}}=[y_{1},y_{0}].}$$

帰納法のステップ: 結果が最大で項を含む任意の商差に対して成り立つと仮定します。次に、次の2番目の等式における帰納法の仮定を使用して、項を 含む商差に対して次式が成り立つことがわかります。${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n+2}$

$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n+1}]={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}={\frac {[y_{n},\ldots ,y_{0}]-[y_{n+1},\ldots ,y_{1}]}{x_{0}-x_{n+1}}}=[y_{n+1},\ldots ,y_{0}].}$$

次に、帰納的かつ明確にするために、ステートメント （）とも呼ぶ、事実2を定式化します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$

事実2. ( ) : 異なる -座標を持つ任意の点があり、 がこれらの点を通るグラフが最大で次数 の唯一の多項式である 場合、関係式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P=P(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n}-x_{n-1})=y_{n}-P(x_{n})}$$

証明。(証明をスムーズに読むためには、正確な記述とその微妙な点を念頭に置いておくと役立ちます。 はを通過することによって定義されますが、この式は、他の とは異なる -座標を持つ追加の任意の点の両側についても述べています 。) ${\displaystyle P}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1})}$${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{i}}$

これらのステートメントを再び帰納法で証明します。 を示すために、 を任意の 1 つの点とし、を通過する次数 0 の一意の多項式とします。 すると、明らかに となり、 と書き表すことができます 。 ${\displaystyle {\text{Stm}}_{1},}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P(x)=y_{0}}$$${\displaystyle [y_{0},y_{1}](x_{1}-x_{0})={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x_{1}-x_{0})=y_{1}-y_{0}=y_{1}-P(x_{1})}$$

すでに確立されていると仮定した場合 の証明 ：を通過する 次数（最大）の多項式とする${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1},}$${\displaystyle {\text{Stm}}_{n}}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n},y_{n}).}$

は点 を通る次数（最大）の唯一の多項式であるため 、次の等式連鎖を書くことができます。ここで、 は Stm がに適用される最後から 2 番目の等式を使用します。 ${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle _{n}}$${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&={\frac {[y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]}{x_{n+1}-x_{0}}}(x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=\left([y_{1},\ldots ,y_{n+1}]-[y_{0},\ldots ,y_{n}]\right)(x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=[y_{1},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=(y_{n+1}-Q(x_{n+1}))-[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})\\&=y_{n+1}-(Q(x_{n+1})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{n+1}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})).\end{aligned}}}$$

に対する帰納的仮定は、を定義する点に が加えられた次の計算の 2 番目の等式にも適用されます  。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(x_{0})+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x_{0}-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{n})\\&=Q(x_{0})+[y_{n},\ldots ,y_{0}](x_{0}-x_{n})\cdot \ldots \cdot (x_{0}-x_{1})\\&=Q(x_{0})+y_{0}-Q(x_{0})\\&=y_{0}\\&=P(x_{0}).\\\end{aligned}}}$$

さて、 を見てください。 この多項式の定義により、 を通過し、先ほど示したように、 も通過します。したがって、これらの点を通過する 唯一の次数の多項式です。したがって、この多項式は次のようになります。 ${\displaystyle Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n}).}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle P(x);}$${\displaystyle P(x)=Q(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{1})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n}).}$

したがって、最初の等式チェーンの最後の行を「」と書くことができ、 が確立されました。 したがって、 が確立され、事実 2 の証明が完了しました。 ${\displaystyle y_{n+1}-P(x_{n+1})}$$${\displaystyle [y_{0},\ldots ,y_{n+1}](x_{n+1}-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x_{n+1}-x_{n})=y_{n+1}-P(x_{n+1}).}$$${\displaystyle {\text{Stm}}_{n+1}}$

次に、事実 2 を見てみましょう。これは次のように定式化できます。が最大で次数の唯一の多項式であり、そのグラフが点を通過する場合、 は最大で次数の唯一の多項式であり、点を通過します 。したがって、ニュートン補間により、すでに計算されたものを破壊することなく、新しい補間点を追加できることが実際にわかります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),}$${\displaystyle P(x)+[y_{0},\ldots ,y_{n}](x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{n-1})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),...,(x_{n-1},y_{n-1}),(x_{n},y_{n}).}$

すべてのノードが一致する場合のニュートン多項式の極限はテイラー多項式です。これは、差の割り算が導関数になるためです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{(x_{0},\dots ,x_{n})\to (z,\dots ,z)}f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot (\xi -x_{0})+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot (\xi -x_{0})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n-1})\\&=f(z)+f'(z)\cdot (\xi -z)+\dots +{\frac {f^{(n)}(z)}{n!}}\cdot (\xi -z)^{n}\end{aligned}}}$$

差商の定義からわかるように、新しいデータ ポイントをデータ セットに追加して、古い係数を再計算せずに新しい補間多項式を作成できます。また、データ ポイントが変更されても、通常はすべての係数を再計算する必要はありません。さらに、x _{i が}等間隔に分散されている場合、差商の計算は大幅に簡単になります。したがって、実用上は 通常、ラグランジュ形式よりも差商の式が好まれます。

差商は表の形で書くことができます。例えば、関数fが点 に補間される場合、次のように書きます。 ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&f(x_{0})&&\\&&{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}}&\\x_{1}&f(x_{1})&&{{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}-{f(x_{1})-f(x_{0}) \over x_{1}-x_{0}} \over x_{2}-x_{0}}\\&&{f(x_{2})-f(x_{1}) \over x_{2}-x_{1}}&\\x_{2}&f(x_{2})&&\vdots \\&&\vdots &\\\vdots &&&\vdots \\&&\vdots &\\x_{n}&f(x_{n})&&\\\end{matrix}}}$

次に、各列の最上位のエントリを係数として使用して、上記のように補間多項式が形成されます。

例えば、差分商を使ってf ( x ) = tan( x )の補間多項式を次の点で 構築するとします。

6桁の精度を使用して、表を作成します。

${\displaystyle {\begin{matrix}-{\tfrac {3}{2}}&-14.1014&&&&\\&&17.5597&&&\\-{\tfrac {3}{4}}&-0.931596&&-10.8784&&\\&&1.24213&&4.83484&\\0&0&&0&&0\\&&1.24213&&4.83484&\\{\tfrac {3}{4}}&0.931596&&10.8784&&\\&&17.5597&&&\\{\tfrac {3}{2}}&14.1014&&&&\\\end{matrix}}}$

したがって、補間多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}&-14.1014+17.5597(x+{\tfrac {3}{2}})-10.8784(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})+4.83484(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)+0(x+{\tfrac {3}{2}})(x+{\tfrac {3}{4}})(x)(x-{\tfrac {3}{4}})\\={}&-0.00005-1.4775x-0.00001x^{2}+4.83484x^{3}\end{aligned}}}$

表の精度の桁数を増やすと、最初と 3 番目の係数はゼロになります。

別の例:

およびとなる数列、すなわちからまでの数列。 ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f_{0}(1)=6,f_{0}(2)=9,f_{0}(3)=2}$${\displaystyle f_{0}(4)=5}$${\displaystyle 6,9,2,5}$${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{3}=4}$

順序の傾きは次の方法で得られます。 ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{1}(x_{0},x_{1})={\frac {f_{0}(x_{1})-f_{0}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {9-6}{2-1}}=3}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2})={\frac {f_{0}(x_{2})-f_{0}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {2-9}{3-2}}=-7}$
• ${\displaystyle f_{1}(x_{2},x_{3})={\frac {f_{0}(x_{3})-f_{0}(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}}={\frac {5-2}{4-3}}=3}$

の順序の傾きがわかっているので、次の順序を得ることができます。 ${\displaystyle 1}$

• ${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})={\frac {f_{1}(x_{1},x_{2})-f_{1}(x_{0},x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {-7-3}{3-1}}=-5}$
• ${\displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{1}(x_{2},x_{3})-f_{1}(x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{1}}}={\frac {3-(-7)}{4-2}}=5}$

最後に、順序の傾きを定義します。 ${\displaystyle 3}$

• ${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}{x_{3}-x_{0}}}={\frac {5-(-5)}{4-1}}={\frac {10}{3}}}$

傾きがわかれば、結果として得られる多項式を定義できます。

• ${\displaystyle p_{0}(x)=6}$。
• ${\displaystyle p_{1}(x)=6+3(x-1)}$
• ${\displaystyle p_{2}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)}$。
• ${\displaystyle p_{3}(x)=6+3(x-1)-5(x-1)(x-2)+{\frac {10}{3}}(x-1)(x-2)(x-3)}$

• 三角形の数値と算数の累進法について: トーマス・ハリオットによる、ニュートンの著作より 50 年前に書かれたが、2009 年まで出版されなかった、補間に関する同様の方法を説明した著作「Magisteria magna」
• ニュートン級数
• ネヴィルのスキーマ
• 多項式補間
• 補間多項式のラグランジュ形式
• 補間多項式のバーンスタイン形式
• エルミート補間
• カールソンの定理
• ニュートン級数表

• John H. Mathews によるニュートン多項式のモジュール