永田のコンパクト化定理

代数幾何学において、永田 (1962, 1963)によって導入された永田のコンパクト化定理は、あらゆる抽象多様体が完全多様体に埋め込むことができることを意味し、より一般的には、ネータースキームSへの分離有限型射が、開いた浸漬とそれに続く適切な射に因数分解できることを示しています。

永田の元々の証明では、ザリスキ・リーマン空間と付値理論という古い用語が使われており、理解しにくいこともあった。 コンラッドが解説した未発表のノートの中で、ドリーニュは永田の証明はスキーム理論に翻訳できること、またSがネーターであるという条件は、 Sが準コンパクトかつ準分離であるというはるかに弱い条件に置き換えられることを示した。リュトケボーメルト（1993）は永田の定理の別のスキーム理論的証明を与えた。

永田の定理の重要な応用は、代数幾何学におけるコンパクト台を持つコホモロジー、またはより一般的には適切な台を持つ高次の直接像関数の類似物を定義することである。その考え方は、コンパクト化可能な射が与えられたとき、開浸漬jと適切な射pによる因数分解を選択し、次に設定すること によって定義するというものである。${\displaystyle f:X\to S,}$${\displaystyle Rf_{!}}$${\displaystyle f=p\circ j}$

${\displaystyle Rf_{!}=Rp_{*}\circ j_{\sharp}}$、

ここで、はゼロ関数による拡張です。これにより、定義がコンパクト化の選択に依存しないことがわかります。 ${\displaystyle j_{\sharp}}$

エタール層の文脈では、このアイデアはSGA 4、Exposé XVIIで Deligne によって実行されました。連接層の文脈では、開いた浸漬jに対して逆像関数は通常左随伴を許容しないため、ステートメントはより繊細です。それでも、は pro-left 随伴として存在し、Deligne は連接層の pro-導出カテゴリで値を持つ関数を定義することができました。^[1]${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle j_{\sharp}}$${\displaystyle Rf_{!}}$

• スタックプロジェクト- 永田コンパクト化 - まず補題38.33.8を参照し、その後バックトラックする
• スタック プロジェクト - コンパクト化による下側の叫び声の導出
• Stacks プロジェクト - コヒーレント モジュールのコンパクトにサポートされたコホモロジー
• Conrad, B, Deligne による Nagata のコンパクト化に関するノート(PDF)
• Lütkebohmert, Werner (1993)、「スキームのコンパクト化について」、Manuscripta Mathematica、80 (1): 95–111、doi :10.1007/BF03026540、ISSN  0025-2611
• 永田 正義(1962)、「抽象多様体の完全多様体への埋め込み」、京都大学数学誌、2 (1): 1–10、doi : 10.1215/kjm/1250524969、ISSN  0023-608X、MR  0142549
• 永田 正義(1963)、「抽象多様体の完全多様体への埋め込み問題の一般化」、京都大学数学誌、3 (1): 89–102、doi : 10.1215/kjm/1250524859、ISSN  0023-608X、MR  0158892