多変量共分散分析

多変量共分散分析（MANCOVA ）は、共分散分析（ANCOVA ）法を拡張したもので、従属変数が複数あり、同時に存在する連続独立変数（共変量）の制御が必要な場合に対応します。MANCOVA設計の単純なMANOVAに対する最も顕著な利点は、共変量によって導入されたノイズまたは誤差を「除去」できることです。 ^{[ 1 ]} ANOVA F統計量の多変量版としてよく使われるのは、誤差分散（または共分散）と効果分散（または共分散）の比を表すウィルクスのラムダ（Λ）です。^{[ 1 ]}

ANOVAファミリーのすべての検定と同様に、MANCOVAの主な目的は、グループ平均間の有意差を検定することです。^{[ 1 ]}データソース内の共変量を特徴付けるプロセスにより、MANCOVA設計でMS_誤差として表される誤差項の大きさを減らすことができます。その結果、全体のウィルクスのラムダは大きくなり、有意であると特徴付けられる可能性が高くなります。^{[ 1 ]}これにより、研究者はデータ内の差を検出するための統計的検出力を高めることができます。MANCOVAの多変量的な側面により、共変量を同時に制御しながら、複数の従属変数の線形結合に関してグループ平均の差を特徴付けることができます。

MANCOVAが適切な例： ある科学者が、うつ病と不安のスコアに対する2つの新薬の効果を検証することに関心を持っているとします。また、その科学者は各患者の薬に対する全体的な反応性に関する情報を持っているとします。この共変量を考慮に入れることで、各薬が両方の従属変数に及ぼす影響を判断する際のテストの感度を高めることができます。

MANCOVAを適切に使用するには、いくつかの前提条件を満たす必要があります。

1. 正規性：各グループについて、各従属変数はスコアの正規分布を表す必要があります。さらに、従属変数の線形結合は正規分布に従う必要があります。外れ値の変換または除去は、この仮定が満たされていることを確認するのに役立ちます。^{[ 2 ]}この仮定に違反すると、第一種過誤率が増加する可能性があります。^{[ 3 ]}
2. 観測の独立性：各観測は他のすべての観測から独立していなければなりません。この仮定は、ランダムサンプリング手法を用いることで満たすことができます。この仮定に違反すると、第一種過誤率が増加する可能性があります。^{[ 3 ]}
3. 分散の均一性：各従属変数は、各独立変数に対して同様のレベルの分散を示す必要があります。この仮定の違反は、従属変数の分散と平均の間に相関関係が存在することとして概念化できます。この違反はしばしば「異分散性」^{[ 4 ]}と呼ばれ、レーベン検定^{[ 5 ]}を使用してテストできます。
4. 共分散の均一性：従属変数間の相関行列は、独立変数のすべてのレベルで等しくなければなりません。この仮定に違反すると、第一種過誤率の増加と統計的検出力の低下につながる可能性があります。^{[ 3 ]}

ANOVAに触発されたMANOVAは、モデルによって説明される平方和の一般化に基づいています。${\displaystyle S_{\text{model}}}$そして、モデルでは説明できない二乗和の逆数${\displaystyle S_{\text{res}}^{-1}}$最も一般的な統計量^{[ 6 ] [ 7 ]}は、根 (または固有値)に基づく要約です。$\lambda_p$行列の${\textstyle A:=S_{\text{モデル}}S_{\text{res}}^{-1}}$。

• サミュエル・スタンリー・ウィルクス${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(S_{\text{res}})/\det(S_{\text{res}}+S_{\text{model}})}$ラムダ（Λ）として分布
• KCスリダラン ピライ– MS バートレットの痕跡、${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$
• ローリー・ホテリングの痕跡、${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• ロイの最大の根（ロイの最大根とも呼ばれる）、${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})}$

統計学において、共変量とは、実験で制御されていない変動要因であり、従属変数に影響を与えると考えられるものを指します。^{[ 8 ]} ANCOVAなどの手法の目的は、このような制御されていない変動の影響を取り除き、統計的検出力を高め、独立変数と従属変数の間の真の関係を正確に測定することです。^{[ 8 ]}

一例として、ウッドワース (1987) による海面の傾向分析が挙げられる。^{[ 9 ]}ここでは、従属変数(および最も関心のある変数) は、一連の年間値が利用可能な特定の場所における年間平均海面であった。主要な独立変数は「時間」であった。海面における年間平均大気圧の年間値からなる「共変量」が使用された。結果は、共変量を含めることで、共変量を省略した分析と比較して、時間に対する傾向の推定値が改善されることを示した。

• 判別関数分析
• 共分散分析（ANCOVA）
• マノバ