動機ゼータ関数

代数幾何学において、滑らかな代数多様体のモチーフゼータ関数${\displaystyle X}$形式的冪級数: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }[X^{(n)}]t^{n}}$

ここ${\displaystyle X^{(n)}}$は${\displaystyle n}$の の対称べき乗${\displaystyle X}$つまり、${\displaystyle X^{n}}$対称群の作用によって${\displaystyle S_{n}}$、 そして${\displaystyle [X^{(n)}]}$はクラスです${\displaystyle X^{(n)}}$動機の環（下記参照）。

基礎場が有限で、計数尺度を適用すると${\displaystyle Z(X,t)}$局所ゼータ関数は${\displaystyle X}$。

基礎体が複素数であり、コンパクトサポートを持つオイラー標数を適用すると、${\displaystyle Z(X,t)}$すると、$1/(1-t)^{\chi (X)}}$。

動機尺度はマップである${\displaystyle \mu }$体上の有限型スキームの集合から${\displaystyle k}$可換環へ${\displaystyle A}$3つの特性を満たす

${\displaystyle \mu (X)\,}$同型クラスのみに依存する${\displaystyle X}$、

${\displaystyle \mu (X)=\mu (Z)+\mu (X\setminus Z)}$もし${\displaystyle Z}$は閉じたサブスキームです${\displaystyle X}$、

${\displaystyle \mu (X_{1}\times X_{2})=\mu (X_{1})\mu (X_{2})}$。

例えば、${\displaystyle k}$は有限体であり、${\displaystyle A={\mathbb {Z} }}$は整数環である。${\displaystyle \mu (X)=\#(X(k))}$動機尺度、計数尺度を定義する。

基礎となる体が複素数である場合、コンパクトな台を持つオイラー標数は、整数値をとるモチーフ測度を定義する。

動機尺度に関するゼータ関数${\displaystyle \mu }$は形式的冪級数である${\displaystyle A[[t]]}$によって与えられた

${\displaystyle Z_{\mu }(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (X^{(n)})t^{n}}$。

普遍的な動機尺度が存在する。それは多様体の K 環の値をとる。${\displaystyle A=K(V)}$これは、シンボルによって生成されるリングです。${\displaystyle [X]}$すべての品種について${\displaystyle X}$関係に従う

${\displaystyle [X']=[X]\,}$もし${\displaystyle X'}$そして${\displaystyle X}$同型であり、

${\displaystyle [X]=[Z]+[X\setminus Z]}$もし${\displaystyle Z}$は閉じた亜種である${\displaystyle X}$、

${\displaystyle [X_{1}\times X_{2}]=[X_{1}]\cdot [X_{2}]}$。

普遍的な動機尺度は、動機ゼータ関数を生み出す。

させて${\displaystyle \mathbb {L} =[{\mathbb {A} }^{1}]}$アフィン直線のクラスを表す。

${\displaystyle Z({\mathbb {A} },t)={\frac {1}{1-{\mathbb {L} }t}}}$

${\displaystyle Z({\mathbb {A} }^{n},t)={\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{n}t}}}$

${\displaystyle Z({\mathbb {P} }^{n},t)=\prod _{i=0}^{n}{\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{i}t}}}$

もし${\displaystyle X}$は、種数の滑らかな射影既約曲線である。${\displaystyle g}$次数 1 の線束を許容し、モチーフ測度は、${\displaystyle {\mathbb {L} }}$可逆であれば、

${\displaystyle Z(X,t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-{\mathbb {L} }t)}}\,,}$

どこ${\displaystyle P(t)}$次数が の多項式です${\displaystyle 2g}$したがって、この場合、モチーフゼータ関数は有理数である。高次元では、モチーフゼータ関数は必ずしも有理数ではない。

もし${\displaystyle S}$は、特性が の代数的に閉じた体上の滑らかな曲面である。${\displaystyle 0}$すると、ヒルベルトスキームのモチーフの生成関数は次のようになる。${\displaystyle S}$ゲッチェの公式によってモチーフゼータ関数で表現できる

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[S^{[n]}]t^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }Z(S,{\mathbb {L} }^{m-1}t^{m})}$

ここ${\displaystyle S^{[n]}}$長さのヒルベルトスキーム${\displaystyle n}$サブスキーム${\displaystyle S}$アフィン平面の場合、この式は次のようになります。

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[({\mathbb {A} }^{2})^{[n]}]t^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{m+1}t^{m}}}}$

これは本質的には分割関数です。