単項述語論理

論理学において、単項述語論理（単項一階述語論理とも呼ばれる）は、一階述語論理（述語論理とも呼ばれる）の断片であり、シグネチャ内のすべての関係記号が単項（つまり、引数を1つしか取らない）であり、関数記号が存在しない。言い換えれば、すべての原子式は次の形式である。${\displaystyle P(t)}$、 どこ${\displaystyle P}$は関係記号であり、${\displaystyle t}$は用語です。

単項述語論理は、2つ以上の引数を取る関係記号を許容する標準的な述語論理とは対照的です。標準的な述語論理が単項ではないことを強調したい場合は、「多項述語論理」と呼びます。

多項関係記号がない場合、単項述語論理は完全な述語論理よりも弱い。実際、それは決定可能な論理である。つまり、与えられた単項述語論理の式が論理的に有効であるかどうか（すべての空でない領域に対して真であるかどうか）を決定する決定アルゴリズムが存在する。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}しかし、単項論理に単一の二項関係記号を追加すると、決定不可能な論理になる。

上述の形式体系は、純粋単項述語論理と呼ばれることがあり、「純粋」とは関数記号が存在しないことを意味する。単項関数記号を許容すると論理は表面的な変化しか生じないが、二項関数記号を一つでも許容すると、決定不能な論理となる。

単項二階述語論理では、式の中に高次の述語を含めることができます。ただし、二階量化は集合のみを対象とします。つまり、「すべての単項関係Pに対して、次の式が成り立つ」や「次のような単項関係Pが存在する」といった表現は可能ですが、「すべての二項関係Qに対して、次の式が成り立つ」といった表現はできません。

単項論理を超える必要性は、19世紀のオーガスタス・ド・モルガンとチャールズ・サンダース・パースによる関係論理の研究、そして1879年のフレーゲの『概念論』まで認識されていなかった。これら3人の研究以前は、項論理（三段論法）が形式的な演繹的推論には十分であると広く考えられていた。

項論理における推論はすべて、単項述語論理で表現できる。例えば、次の議論

犬はすべて哺乳類である。

哺乳類はどれも鳥類ではない。

つまり、犬は鳥ではない。

単項述語論理の言語では次のように表記できる。

${\displaystyle [(\forall x\,D(x)\Rightarrow M(x))\land \neg (\exists y\,M(y)\land B(y))]\Rightarrow \neg (\exists z\,D(z)\land B(z))}$

どこ${\displaystyle D}$、${\displaystyle M}$そして${\displaystyle B}$それぞれ、犬、哺乳類、鳥類であることを表す述語を表す。

逆に、単項述語論理は項論理よりも著しく表現力が高いわけではない。単項述語論理の各式は、量化子が次の形式の閉じた部分式にのみ現れる式と同等である。

${\displaystyle \forall x\,P_{1}(x)\lor \cdots \lor P_{n}(x)\lor \neg P'_{1}(x)\lor \cdots \lor \neg P'_{m}(x)}$

または

${\displaystyle \exists x\,\neg P_{1}(x)\land \cdots \land \neg P_{n}(x)\land P'_{1}(x)\land \cdots \land P'_{m}(x),}$

これらの式は、項論理で考慮される基本的な判断をわずかに一般化したものです。たとえば、この形式では、「すべての哺乳類は草食動物か肉食動物（またはその両方）である」といった文が可能です。${\displaystyle \forall x\,M(x)\Rightarrow (H(x)\lor C(x))}$しかし、そのような命題に関する推論は、古典的なアリストテレスの19の三段論法だけでは処理できないものの、項論理の枠組みの中で処理することは可能である。

命題論理を前提とすれば、単項述語論理におけるすべての式は、項論理においても同様に定式化できる何かを表現している。一方、伝統的な論理における多重一般性の問題に関する現代的な見解では、束縛変数を関連付ける多項述語が存在しない場合、量化子は有用な形で入れ子化することはできないと結論づけている。