ミケルの定理

ミゲルの定理は幾何学における定理であり、オーギュスト・ミゲル^[1]にちなんで名付けられ、三角形の1つの頂点とその両辺上の2点を通る3つの円の交差に関するものである。これはミゲルによるユークリッド幾何学における円に関するいくつかの定理のうちの1つであり、その研究はリウヴィルが新たに創刊した雑誌「純粋数学と応用数学」に掲載された。

正式には、ABC を三角形とし、任意の点A´、B´、C´をそれぞれBC、AC、ABの各辺（またはその延長線）上に置きます。三角形AB´C´、A´BC´、A´B´Cに 3 つの外接円（ミゲルの円）を描きます。ミゲルの定理によれば、これらの円はミゲル点と呼ばれる1 つの点Mで交差します。さらに、 3 つの角MA´B、MB´C、MC´A（図の緑色）はすべて等しく、 3 つの補角MA´C、MB´A、MC´Bもすべて等しくなります。^{[2] [3]}

この定理 (およびその系) は、巡回四辺形の性質から導かれます。A'B'C と AB'C' の外接円が で交わるとします。すると、BA'MC' は希望どおり巡回的になります。 ${\displaystyle M\neq B'.}$${\displaystyle \angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C= \pi-B,}$

ミゲルの定理の記述において、点A´、B´、C´が三角形を形成する（つまり、同一直線上にない）場合、その定理はForder (1960, p. 17) でピボット定理と名付けられました。 ^[4]（図では、これらの点はP、Q 、 Rとラベル付けされています。）

A´、B´、C´が同一線上にある場合、ミゲル点は∆ABCの外接円上にあり、逆にミゲル点がこの外接円上にある場合、A´、B´、C´は直線上にある。^[5]

BC ( a )、CA ( b )、AB ( c ) の各辺に沿ったA´、B´、C´の距離の分数がそれぞれd _a、d _b、d _cである場合、ミゲル点は三線座標( x  : y  : z ) で次のように表されます。

${\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)}$

${\displaystyle y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)}$

${\displaystyle z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),}$

ここで、d ' _a = 1 - d _aなどです。

d _a = d _b = d _c = ½の場合、ミゲル点は外心 (cos α : cos β : cos γ)です。

この定理は逆に言うと、Mで交差する 3 つの円について、 1 つの円上の任意の点Aから、別の円との交点C´ を通る線を引き、 B (2 番目の交点) を生じさせることができます。Bも同様に、 2 番目と 3 番目の円の交点A´を経由して接続され、点C を生じます。 すると、点C、A、および残りの交点B´は同一直線上になり、三角形ABC は常に円の交点A´、B´、およびC´を通ります。

内接三角形XYZが基準三角形ABCに相似であれば、 3つの円の交わる点MはそのようなすべてのXYZに対して固定される。^{[6] ：p.257}

完全な四辺形を構成する4つの三角形の外接円は、すべて点Mで交わります。^[7]上の図では、これらは∆ABF、∆CDF、∆ADE、∆BCEです。

この結果は、1827/1828年に発行されたジェルゴンヌの数学年報^[8]でヤコブ・シュタイナーによって2行で発表されました。しかし、詳細な証明はミゲルによって与えられました。^[7]

ABCDEを凸五角形とする。すべての辺を5点F、G、H、I、Kで交わるまで延長し、5つの三角形CFD、DGE、EHA、AIB、BKCの外接円を描きます。すると、2番目の交点（A、B、C、D、E以外）、つまり新しい点M、N、P、R、Qは同心円（円上に位置する）になります。^[9]図を参照。

逆の結果は五円定理として知られています。

円上の点A、B、C、Dと、各隣接する点を通る円が与えられている場合、これら 4 つの円の交点W、X、Y、Zは共通の円上にあります。これは六円定理として知られています。^{[10]これは}四円定理としても知られており、一般的にはヤコブ・シュタイナーに帰属していますが、唯一知られている公開された証明はミケルによるものです。^{[11]デビッド・G・ウェルズはこれを}ミケルの定理と呼んでいます。^[12]

3次元の類似物もあり、四面体の一点と四面体の辺上の点を通る4つの球が共通点で交差する。^[3]

• クリフォードの円定理
• 束定理
• ミケル構成

• Coxeter, HSM; Greitzer, SL (1967)、「Geometry Revisited」、New Mathematical Library、第19巻、ワシントンDC：アメリカ数学協会、ISBN 978-0-88385-619-2、ZBL  0166.16402
• フォーダー、HG（1960）、幾何学、ロンドン：ハッチンソン
• オスターマン、アレクサンダー、ヴァンナー、ゲルハルト（2012）、歴史から見た幾何学、シュプリンガー、ISBN 978-3-642-29162-3
• ペドー、ダン（1988）[1970]、幾何学/総合コース、ドーバー、ISBN 0-486-65812-0
• スマート、ジェームズ R. (1997)、モダンジオメトリー(第 5 版)、ブルックス/コール、ISBN 0-534-35188-3
• ウェルズ、デイビッド（1991）、ペンギン辞典、ニューヨーク：ペンギンブックス、ISBN 0-14-011813-6、ZBL  0856.00005

ウィキメディア・コモンズには、ミケルの定理に関連するメディアがあります。

• ワイスタイン、エリック・W.「ミケルの定理」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「ミケルの 5 つの円の定理」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「ミケル五芒星定理」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック W.「ピボット定理」。マスワールド。
• ダイナミックジオメトリスケッチにおけるナポレオンの定理の一般化の特殊ケースとしてのミゲルの定理