マートンのポートフォリオ問題

マートンのポートフォリオ問題は、連続時間ファイナンス、特に異時点間のポートフォリオ選択における問題です。投資家は消費量を選択し、期待効用を最大化するために株式と無リスク資産の間で資産を配分する必要があります。この問題は、有限の寿命と無限のケースの両方で、1969年にロバート・C・マートンによって定式化され解決されました。 ^{[1] [2]研究では、}取引コストや破産 などの要素を含めるためにモデルを拡張および一般化し続けてきました。

投資家は時刻 0 から時刻 Tまで生きており、時刻Tにおける資産はW _Tで表されます。投資家は既知の初期資産W ₀（賃金収入の現在価値を含む場合があります）から始めます。時刻tに、資産のどれだけの量を消費するかc _t、資産の何パーセントを株式ポートフォリオに投資するかπ _t（残りの 1 −  π _{t は}リスクのない資産に投資されます）を選択しなければなりません。

目的は

${\displaystyle \max E\left[\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c_{t})\,dt+\epsilon ^{\gamma }e^{-\rho T}u(W_{T})\right]}$

ここで、Eは期待演算子、uは既知の効用関数（消費と最終的な富、つまり遺産W _{T の}両方に適用）、ε は望ましい遺産レベルをパラメータ化し、ρは主観的な割引率、は投資家のリスク回避を表す定数です。ガンマが高いほど、株式を保有することに消極的になります。 ${\displaystyle \gamma}$

富は確率微分方程式に従って変化する

${\displaystyle dW_{t}=[(r+\pi _{t}(\mu -r))W_{t}-c_{t}]\,dt+W_{t}\pi _{t}\sigma \,dB_{t}}}$

ここで、rはリスクフリーレート、( μ、  σ )は株式市場の期待収益率とボラティリティ、dB _tはウィーナー過程の増分、つまりSDEの確率項です。

効用関数は、一定の相対リスク回避度(CRRA) 形式です。

${\displaystyle u(x)={\frac {x^{1-\gamma }}{1-\gamma }}.}$

消費は負にはならない：c _t  ≥ 0、^{[2] [3]}一方π _tは制限されない（つまり、借り入れや株の空売りは許可される）。

このモデル（1969年版）では、投資機会は一定であると仮定されている、つまりr、  μ、  σは既知で一定であると仮定されているが、マートンは異時点間CAPM（1973年）ではこれらが変化することを許可している。

最適制御問題には驚くべきことに、閉じた形の解が存在する。最適な消費と在庫の配分は富と時間に応じて次のように決まる：^{[4] : 401}

${\displaystyle \pi (W,t)={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}.}$

この式は一般にマートン分数と呼ばれます。Wとtは右辺に現れないため、投資家の年齢や富裕度に関係なく、一定の割合の富が株式に投資されます。

${\displaystyle c(W,t)={\begin{cases}\nu \left(1+(\nu \epsilon -1)e^{-\nu (Tt)}\right)^{-1}W&{\textrm {if}}\;T<\infty \;{\textrm {and}}\;\nu \neq 0\\(T-t+\epsilon )^{-1}W&{\textrm {if}}\;T<\infty \;{\textrm {and}}\;\nu =0\\\nu W&{\textrm {if}}\;T=\infty \end{cases}}}$

どこでそして ${\displaystyle 0\leq \epsilon \ll 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\left(\rho -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma }}+r\right)\right)/\gamma \\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )\left({\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma ^{2}}}+{\frac {r}{\gamma }}\right)\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )(\pi (W,t)^{2}\sigma ^{2}/2+r/\gamma )\\&=\rho /\gamma -(1-\gamma )((\mu -r)\pi (W,t)/2\gamma +r/\gamma ).\end{aligned}}}$

この問題にはさまざまなバリエーションが検討されてきましたが、そのほとんどは単純な閉じた形式の解決にはつながりません。

• 柔軟な退職年齢を考慮することもできる。^[5]
• CRRA以外の効用関数も使用可能です。
• 取引コストが導入される可能性があります。
  • 比例取引コストについては、デイビスとノーマンが 1990 年にこの問題を解決しました。^[6]これは、解がわかっている確率的特異制御の数少ないケースの 1 つです。グラフで表すと、2 つの資産のそれぞれに投資された金額をx軸とy軸にプロットできます。原点を通る 3 本の対角線 (上限、マートン線、下限) を描くことができます。マートン線は、取引コストがない場合にマートンが導き出した株式/債券比率を持つポートフォリオを表します。現在のポートフォリオを表す点がマートン線の近く、つまり上限と下限の間であれば、何もする必要はありません。ポートフォリオが上限を超えるか下限を下回る場合は、ポートフォリオのバランスを調整してその境界に戻す必要があります。1994 年にシュリーブとソナーは、ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式とその粘性解を使用して、この問題の分析を行いました。^[7]
  • 取引コストが固定されている場合、この問題は1988年にイーストマンとヘイスティングスによって解決されました。^[8]数値解法は1995年にシュローダーによって提供されました。^[9]
  • モートンとプリスカ^[10]は、対数効用について投資家の富に比例する取引コストを考慮した。このコスト構造は現実の取引コストを反映していないように思えるが、^[11]例えば個別株などの追加資産がある場合に、問題の正確な解を出すのが困難または手に負えなくなる場合に、近似解を見つけるために使用できる。
• 投資機会が一定であるという仮定は緩和できます。そのためには、時間の経過とともにどのように変化するかを示すモデルが必要です。金利モデルを追加すれば、さまざまな満期の債券を含むポートフォリオを作成できます。一部の著者は、株式市場の収益の確率的ボラティリティ モデルを追加しています。${\displaystyle r,\mu ,\sigma }$
• 破産を組み込むことも可能である。この問題は1986年にKaratzas、Lehoczky、Sethi、Shreveによって解決された。^[12]破産を組み込んだ多くのモデルはSethi (1997)にまとめられている。^[13]

• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998).数理ファイナンスの方法. 確率モデルと応用確率. 第39巻. doi :10.1007/b98840. ISBN 978-0-387-94839-3。
• マートンRC：連続時間ファイナンス、ブラックウェル（1990）。