メネラウスの定理

ユークリッド幾何学において、アレクサンドリアのメネラオスにちなんで名付けられたメネラウスの定理は、平面幾何学における三角形に関する命題である。三角形△ ABC があり、BC、AC、AB をそれぞれ点D、E、Fで横切る横断線があるとする。ただし、 D、E、FはA、B、Cとは異なる点である。この定理の弱いバージョンは、次のように述べている。

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$$

ここで「| |」は絶対値を表します（つまり、すべての線分の長さは正です）。

この定理は、線分の符号付き長さに関する記述に強化することができ、共線点の相対的な順序に関する追加情報を提供します。ここで、線分の長さABは、線分の固定された向きにおいてA がBの左側にあるか右側にあるかに応じて正または負とみなされます。たとえば、${\displaystyle {\tfrac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}}$FがAとBの間にある場合は正の値、それ以外の場合は負の値をとると定義される。メネラウスの定理の符号付きバージョンは次のとおりである。

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1.}$$

同様に、^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\overline {AF}}\times {\overline {BD}}\times {\overline {CE}}=-{\overline {FB}}\times {\overline {DC}}\times {\overline {EA}}.}$$

一部の著者は要因を異なる方法で整理し、一見異なる関係を得ている^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1,}$$ しかし、これらの各要素は上記の対応する要素の負の値であるため、その関係は同じであることがわかります。

逆もまた真である。点D、E、Fがそれぞれ BC、AC、AB上に選ばれ、$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1,}$$ すると、D、E、Fは共線となる。逆もまた定理の一部として含まれることが多い。（ただし、より弱い符号なし命題の逆は必ずしも真ではないことに注意。）

この定理は、方程式の符号が異なるという点で、チェバの定理と非常によく似ている。それぞれの定理を交差比で書き直すと、2つの定理は射影双対と見なすことができる。^{[ 3 ]}

誰が実際にこの定理を発見したかは不明ですが、現存する最古の解説はメネラウス著『球面論』に見られます。この本では、平面版の定理が補題として用いられ、球面版の定理が証明されています。^{[ 8 ]}

アルマゲストの中で、プトレマイオスは球面天文学における多くの問題にこの定理を適用している。^{[ 9 ]}イスラム黄金時代には、イスラム学者たちはメネラオスの定理の研究に多くの著作を捧げ、それを「割線に関する命題」（シャクル・アル＝カッタ）と呼んだ。彼らの用語では、完全な四角形は「割線の図形」と呼ばれていた。^{[ 9 ]}アル＝ビールーニーの著作『天文学の鍵』には、そうした著作がいくつか挙げられており、それらはアル＝ナイリズィーやアル＝ハジンの著作のように、プトレマイオスのアルマゲストの注釈の一部としての研究として分類できる。これらの著作では、それぞれが正弦定理につながるメネラオスの定理の特定の事例を示した。[ ^{10 ]あるいは}、次のような独立した論文として構成された著作もある。

• サビト・イブン・クルラ著「正割図に関する論文」（Risala fi shakl al-qatta' ） 。^{[ 9 ]}
• フサム・アルディン・アルサラールの『割線の図形の神秘のベールを剥がす』（Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'）は、『割線の図形に関する書』（Kitab al-shakl al-qatta'）としても知られ、ヨーロッパでは『完全な四角形に関する論文』として知られている。失われた論文は、シャラフ・アルディン・アルトゥシとナスィール・アルディン・アルトゥシによって言及された。^{[ 9 ]}
• アル＝シジの著作。^{[ 10 ]}
• アブ・ナスル・イブン・イラク著「タフディブ」。^{[ 10 ]}
• ロシュディ・ラシェドとアタナセ・パパドプロス、メネラウスの球面図: 初期翻訳とアル・マハニ/アル・ハラウィ版 (アラビア語写本からのメネラウスの球面図の批判版、歴史的および数学的解説付き)、デ・グリュイター、シリーズ: Scientia Graeco-Arabica、21、2017、890 ページ。ISBN 978-3-11-057142-4

西洋では、この定理はイタリアの数学者ジョヴァンニ・チェーヴァによって再発見された。^{[ 11 ]}

• PlanetMathによるメネラウスの定理の別証明
• チェヴァ出身のメネラオス
• ケヴァとメネラオス、道中で出会う
• MathPages のMenelaus と Ceva
• ジェイ・ワレンドルフによるメネラウスの定理のデモ。Wolfram Demonstrations Project。
• ワイススタイン、エリック・W. 「メネラウスの定理」 . MathWorld .