最大限の情報を提供する次元

最大情報次元は、神経反応の統計解析で使用される次元削減手法です。具体的には、刺激を低次元のサブスペースに投影して、刺激に関する可能な限り多くの情報が神経反応に保存されるようにする方法です。これは、自然刺激が通常、統計によってホワイトノイズが広がる空間よりも低次元の空間に制限されるという事実に基づいています^[1]。しかし、従来の手法を使用してこのサブスペースを正しく識別することは、自然画像内に存在する相関関係によって複雑になります。このサブスペース内では、刺激応答関数は線形または非線形のいずれかになります。このアイデアは、 2003 年にTatyana Sharpee、Nicole C. Rust、William Bialekによって最初に開発されました。^[2]

神経刺激応答関数は、通常、刺激 に反応してニューロンが活動電位またはスパイク を生成する確率として与えられます。最大情報次元の目標は、 の顕著な特徴を正確に捉える、はるかに大きな刺激空間の小さな関連サブスペースを見つけることです。が刺激空間全体の次元を表し、 が関連サブスペースの次元を表すとします。 が関連サブスペースの基底を表し、の への射影を表すものとします。ベイズの定理を使用して、刺激が与えられた場合のスパイクの確率を書き出すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\ll D}$${\displaystyle \{\mathbf {v} ^{K}\}}$${\displaystyle \mathbf {s} ^{K}}$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \{\mathbf {v} ^{K}\}}$

${\displaystyle P(spike|\mathbf {s} ^{K})=P(spike)f(\mathbf {s} ^{K})}$

どこ

${\displaystyle f(\mathbf {s} ^{K})={\frac {P(\mathbf {s} ^{K}|スパイク)}{P(\mathbf {s} ^{K})}}}$

投影された刺激の非線形関数です。

最適な を選択するために、シャノン情報量を用いて、事前刺激分布とスパイク誘発刺激分布を比較する。スパイクあたりの平均情報（提示されたすべての刺激を平均したもの）は次のように与えられる。 ${\displaystyle \{\mathbf {v} ^{K}\}}$${\displaystyle P(\mathbf {s} )}$${\displaystyle P(\mathbf {s} |スパイク)}$

${\displaystyle I_{spike}=\sum _{\mathbf {s} }P(\mathbf {s} |spike)log_{2}[P(\mathbf {s} |spike)/P(\mathbf {s} )]}$^[3 ]

ここで、単一の方向によって定義される次元部分空間を考えてみましょう。投影に関する単一のスパイクによって伝えられる平均情報は、 ${\displaystyle K=1}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle x=\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle I(\mathbf {v} )=\int dxP_{\mathbf {v} }(x|spike)log2[P_{\mathbf {v} }(x|spike)/P_{\mathbf {v} }(x)]}$、

ここで、確率分布は、およびを介して測定されたデータセットによって近似されます。つまり、提示された各刺激は、スケールされたディラックのデルタ関数によって表され、確率分布は、前者の場合はすべてのスパイク誘発刺激の平均化によって、後者の場合は提示された刺激セット全体の平均化によって作成されます。特定のデータセットでは、平均情報は方向 のみの関数です。この定式化では、次元の関連する部分空間は、平均情報 を最大化する方向によって定義されます。 ${\displaystyle P_{\mathbf {v} }(x|spike)=\langle \delta (x-\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} )|spike\rangle _{\mathbf {s} }}$${\displaystyle P_{\mathbf {v} }(x)=\langle \delta (x-\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} )\rangle _{\mathbf {s} }}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle K=1}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle I(\mathbf {v} )}$

この手順は、定義することによって、 関連する次元の部分空間に容易に拡張することができる。${\displaystyle K>1}$

${\displaystyle P_{\mathbf {v} ^{K}}(\mathbf {x} |spike)=\langle \prod _{i=1}^{K}\delta (x_{i}-\mathbf { s} \cdot \mathbf {v} _{i})|スパイク\rangle _{\mathbf {s} }}$

そして

${\displaystyle P_{\mathbf {v} ^{K}}(\mathbf {x} )=\langle \prod _{i=1}^{K}\delta (x_{i}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {v} _{i})\rangle _{\mathbf {s} }}$

そして最大化します。 ${\displaystyle I({\mathbf {v} ^{K}})}$

最大情報次元は、刺激セットのガウス性についていかなる仮定も行いません。これは、自然な刺激は非ガウス統計を持つ傾向があるため重要です。このように、この手法は、スパイクトリガー共分散分析などの他の次元削減手法よりも堅牢です。