モーペルテュイの原理

古典力学において、モーペルテュイの原理（ピエール・ルイ・モーペルテュイ、1698年 - 1759年）は、物理系がたどる経路は最短距離となる（経路と長さの適切な解釈による）と述べています。^{[1]これは、より一般的に述べられている}最小作用の原理 の特殊なケースです。変分法を使用すると、システムの 運動方程式の積分方程式の定式化が得られます。

モーペルチュイの原理は、一般化座標で記述されたシステムの真の経路が、 2つの指定された状態と間の短縮された作用関数の最小値または鞍点^[2]であると述べています。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)}$${\displaystyle \mathbf {q} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{2}}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d \mathbf {q} ,}$$ ここで、は一般化座標の共役運動量であり、次式で定義されます 。 ここで、はシステムのラグランジアン関数です。言い換えると、経路の1 次摂動は、 の (最大) 2 次変化をもたらします。省略されたアクションは関数(つまり、ベクトル空間からその基礎となるスカラー場への関数) であり、この場合は入力として関数 (つまり、指定された 2 つの状態間の経路) を取ります。 ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N}\right)}$$${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$

多くのシステムでは、運動エネルギーは一般化速度の 2 次関数です が、質量テンソルは一般化座標の複雑な関数になることがあります。このようなシステムでは、 位置エネルギーが一般化速度に関係しない限り、運動エネルギー、一般化運動量、一般化速度の間には単純な関係があり ます。一般化座標の空間で 正規化された距離またはメトリックを定義すると、質量テンソルがメトリック テンソル であることがすぐにわかります。運動エネルギーは、質量のない形式で記述すること も、 ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}\ \mathbf {M} \ {\dot {\mathbf {q} }}^{\intercal }}$$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$$${\displaystyle 2T=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}}$$${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle ds}$$${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \ \mathbf {M} \ d\mathbf {q^{\intercal }} }$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}}$$$${\displaystyle 2Tdt={\sqrt {2T}}\ ds.}$$

したがって、運動エネルギーは（一定の）全エネルギーから位置エネルギーを引いたものに等しいため、省略された動作は次のように記述できます 。特に、位置エネルギーが定数である場合、ヤコビの原理は一般化座標の空間における経路長を最小化することに帰着し、これはヘルツの最小曲率原理に相当します。 $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds\ ,{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}}}$$${\displaystyle T=E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}$${\displaystyle E_{\text{tot}}}$${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$${\textstyle s=\int ds}$

ハミルトンの原理とモーペルテュイの原理は混同されることがあり、どちらも最小作用の原理と呼ばれています。この 2 つの原理には、次の 3 つの重要な違いがあります。

• 彼らの行動の定義...
  ハミルトンの原理では、ラグランジアンの時間にわたる積分 が使用され、2 つの固定された終了時刻と端点の間で変化します。対照的に、モーペルテュイの原理では、一般化座標にわたる短縮された作用積分が使用され、およびで終了するすべての一定エネルギー経路に沿って変化します。${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int L\,dt}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {q} _{2}}$
• 彼らが決定する解決策は...
  ハミルトンの原理は、軌道を時間の関数として決定しますが、モーペルテュイの原理は、一般化座標における軌道の形状のみを決定します。たとえば、モーペルテュイの原理は、重力などの反二乗中心力の影響下で粒子が移動する楕円の形状を決定しますが、粒子がその軌道に沿ってどのように移動するかはそれ自体では説明しません。(ただし、この時間パラメータ化は、エネルギー保存則を使用した後続の計算で軌道自体から決定される場合があります。)対照的に、ハミルトンの原理は、楕円に沿った動きを時間の関数として直接指定します。${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$
• ...そしてバリエーションに対する制約。
  モーペルテュイの原理では、2 つの終点状態とが指定され、すべての軌道に沿ってエネルギーが保存されることが要求されます。対照的に、ハミルトンの原理ではエネルギーの保存は要求されませんが、終点時刻とが指定され、終点状態とが指定されることが要求されます。${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$

モーペルテュイは、フェルマーの波動原理を光の粒子理論に応用する方法として、最小作用の原理 を初めて発表した。 ^{[3] : 96}ピエール・ド・フェルマーは、光が距離ではなく最短時間の経路をたどると仮定して、光の屈折に関するスネルの法則を説明した。これはモーペルテュイを悩ませた。なぜなら、彼は時間と距離は同等であるべきだと感じていたからである。「なぜ光は、距離の経路よりも最短時間の経路を好むのか？」 モーペルテュイは、自分の作用を と定義し、これは、指定された 2 点を結ぶすべての経路で最小化されるものであった。これが粒子理論における光の速度である。フェルマーは、波の速度である を最小化した。2 つの速度は相互に関係するため、2 つの形式は同等である。 ${\textstyle \int v\,ds}$${\displaystyle v}$${\textstyle \int \,ds/v}$${\displaystyle v}$

1751年、モーペルテュイの最小作用の原理の優先性は、旧知のヨハン・サミュエル・ケーニッヒの印刷物（ライプツィヒのNova Acta Eruditorum ）で異議を唱えられた。ケーニッヒは、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツからヤコブ・ヘルマンに宛てたとされる1707年の手紙を引用し、その中でレオンハルト・オイラーが1744年に導き出した結果に似た結果を説明していた。

モーペルテュイらは、ケーニッヒに手紙の原本を提示して、それがライプニッツによって書かれたものであることを証明するよう要求した。ライプニッツは1716年に、ヘルマンも1733年に亡くなっており、どちらもケーニッヒの保証人にはなれなかった。ケーニッヒは、手紙はサミュエル・ヘンツィが所有していた原本からコピーしたもので、原本の所在については手がかりがないと主張した。ヘンツィは、ベルンの貴族政府を打倒するためのヘンツィ陰謀を組織したかどで1749年に処刑されていたからである。^[4]その後、オイラーの指導の下、ベルリンアカデミーは手紙を偽造であると宣言し^[5]、モーペルテュイは原理を発明したことで優先権を主張し続けることができるようになった。奇妙なことに、ヴォルテールは、モーペルテュイの科学理論（最小作用の原理に限定されない）を風刺する「アカキア博士の非難」を執筆して、この論争に巻き込まれた。この作品はモーペルテュイの評判を傷つけたが、最小作用の優先権の主張は揺るぎない。^[4]

• 解析力学
• ハミルトンの原理
• ガウスの最小制約原理（ヘルツの最小曲率原理とも説明される）
• ハミルトン・ヤコビ方程式

• Pierre Louis Maupertuis、Accord de différentes loix de la Nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibility (原文は 1744 年のフランス語)。相容れないと思われた異なる自然法則間の調和（英語訳）
• Leonhard Euler、Methodus inveniendi/Additamentum II (原文は 1744 年のラテン語テキスト) ; Methodus inveniendi/付録 2 (英語翻訳)
• Pierre Louis Maupertuis、Les loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique (原文は 1746 年のフランス語)。形而上学的原理からの運動と平衡の法則の導出（英語訳）
• Leonhard Euler、Exposé 関係者 l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (原文は 1752 年のフランス語)。ライプニッツの手紙の調査（英語翻訳）
• König JS「De universali principio aequilibrii et motus」、 Nova Acta Eruditorum、1751、125–135、162–176。
• JJ O'Connor と EF Robertson、「ベルリンアカデミーと偽造」(2003)、The MacTutor History of Mathematics アーカイブ。
• CI Gerhardt、(1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat"、Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften、I、419–427。
• W. Kabitz、(1913) 「ゴータ アウフゲフンデネ アブシュリフト デ フォン S. ケーニッヒの人生の中での人生、人生の方向性、人生の方向性」、Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften、II、632–638。
• LD Landau および EM Lifshitz、(1976) Mechanics、第 3 版、Pergamon Press、pp. 140–143。ISBN 0-08-021022-8 (ハードカバー) およびISBN 0-08-029141-4 (ソフトカバー)  
• GCJ Jacobi、Vorlesungen über Dynamik、gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843。 A. ク​​レブシュ (編) (1866);ライマー;ベルリン。 290 ページ、フランス国立図書館の Gallica-Math で、第 8 巻全集をオンラインで入手できます。
• H. Hertz、(1896) 「力学原理」、Miscellaneous Papers、第3巻、Macmillan。
• VV Rumyantsev (2001) [1994]、「ヘルツの最小曲率原理」、数学百科事典、EMS Press