誤差の範囲

誤差幅は、調査結果のランダム標本誤差の量を表す統計です。誤差幅が大きいほど、世論調査の結果が全人口の国勢調査の結果を反映する信頼性が低くなります。人口の標本抽出が不完全で、結果の測定値が正の分散を持つ場合、つまり測定値が変動する場合は常に、誤差幅は正になります。

誤差の範囲という用語は、測定された量を報告する際の観測誤差を示すために、調査以外の文脈でよく使用されます。

単純な「はい/いいえ」の世論調査を、母集団から抽出された回答者のサンプルとして考えてみましょう。「はい」の回答の割合を報告するものです。 母集団全体を対象とした調査を実施せずに、 が真の調査結果にどれだけ近いかを知りたいのです。仮に、後続の回答者サンプル（ から新たに抽出）に対して世論調査を実施するとしたら、それらの結果は、母集団の真の割合（ただしその割合は不明）について正規分布すると予想されます。誤差幅は、これらの結果の特定の割合が からどの程度離れると予想されるかを表します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N{\text{, }}(n\ll N)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$${\displaystyle {\overline {p}}}$${\displaystyle {\overline {p}}}$

中心極限定理によれば、誤差幅は、サンプルサイズが増加するにつれてサンプル平均の分布（またはこの場合は「はい」の割合）が正規分布に近づく様子を説明するのに役立ちます。これが当てはまる場合、それはサンプリングが偏りがないことを物語っていますが、データの固有の分布については語っていません。^[1]

68-95-99.7 ルールによれば、結果の 95% が真の平均の両側に約2標準偏差( )以内に収まることが予想されます。この間隔は信頼区間と呼ばれ、半径(間隔の半分) は誤差幅と呼ばれ、95% の信頼水準に相当します。 ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$${\displaystyle \pm 2\sigma _{P}}$${\displaystyle {\overline {p}}}$

一般的に、信頼水準では、期待標準偏差を持つ母集団のサンプルサイズには誤差の範囲があります。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle MOE_{\gamma }=z_{\gamma }\time {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$

ここで、 は分位数（一般的にはz スコア）を表し、 は標準誤差です。 ${\displaystyle z_{\gamma}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$

正規分布した値の平均には、  に応じて変化する標準偏差があると予想されます。 が小さいほど、マージンが広くなります。 これを標準誤差と呼びます。 ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$

私たちの調査からの単一の結果については、と仮定し、その後のすべての結果を合わせると分散 になると考えています。 ${\displaystyle p={\overline {p}}}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$${\displaystyle \sigma _{P}^{2}=P(1-P)}$

${\displaystyle {\text{標準誤差}}=\sigma _{\overline {p}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}\approx {\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

はベルヌーイ分布の分散に対応することに注意してください。 ${\displaystyle p(1-p)}$

信頼水準 の場合、平均 に関する対応する信頼区間、つまり の値が の確率で含まれる区間が存在します。 の正確な値は、正規分布の分位関数によって与えられます(68–95–99.7 ルールで近似されます)。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \mu \pm z_{\gamma }\sigma }$${\displaystyle [\mu -z_{\gamma }\sigma ,\mu +z_{\gamma }\sigma ]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z_{\gamma}}$

は に対して未定義であることに注意してください。つまり、 はと同様に未定義です。 ${\displaystyle z_{\gamma}}$${\displaystyle |\gamma |\geq 1}$${\displaystyle z_{1.00}}$${\displaystyle z_{1.10}}$

では、を任意に設定し、、を計算して、実際の結果を得る前であっても、与えられた信頼水準とサンプルサイズにおける の最大誤差幅を得ることができます。${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$${\displaystyle p=0.5}$${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$${\displaystyle \sigma_{P}}$${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$${\displaystyle z_{\gamma }\sigma _{\overline {p}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=0.5,n=1013}$

${\displaystyle MOE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$

${\displaystyle MOE_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$

また、報告された${\displaystyle MOE_{95}}$

${\displaystyle MOE_{99}={\frac {z_{0.99}}{z_{0.95}}}MOE_{95}\approx 1.3\times MOE_{95}}$

世論調査で複数のパーセンテージ結果が出た場合（例えば、1つの選択肢の好みを測る世論調査）、50%に最も近い結果の誤差幅が最も大きくなります。通常、この数値が世論調査全体の誤差幅として報告されます。世論調査レポートが次のように表示されると想像してください。${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$${\displaystyle 71\%,27\%,2\%,n=1013}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{a}(1-p_{a})}{n}}}=0.89/{\sqrt {n}}=\pm 2.8\%}$（上図のように）

${\displaystyle MOE_{95}(P_{b})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{b}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{b}(1-p_{b})}{n}}}=0.87/{\sqrt {n}}=\pm 2.7\%}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{c})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{c}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{c}(1-p_{c})}{n}}}=0.27/{\sqrt {n}}=\pm 0.8\%}$

特定のパーセンテージが 0% または 100% の極値に近づくと、その誤差の範囲は ±0% に近づきます。

複数選択の世論調査レポートを と想像してください。上で説明したように、この世論調査で報告される誤差の範囲は通常 で、 は50% に最も近くなります。しかし、統計的な同点または統計的なデッドヒートという一般的な概念は、個々の結果の正確さではなく、結果の順位付けの正確さに関するものです。1 位はどれでしょうか? ${\displaystyle P}$${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$${\displaystyle 46\%,42\%,12\%,n=1013}$${\displaystyle MOE_{95}(P_{a})}$${\displaystyle p_{a}}$

仮に、その後の回答者サンプル（ から新たに抽出）に対して世論調査を実施し、結果 を報告する場合、の標準誤差を使用してが についてどの程度になるかを把握できます。このためには、分散の合計を適用して新しい分散 を取得する必要があります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p_{w}=p_{a}-p_{b}}$${\displaystyle p_{w_{1}},p_{w_{2}},p_{w_{3}},\ldots }$${\displaystyle {\overline {p_{w}}}}$${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}=\sigma _{P_{a}-P_{b}}^{2}=\sigma _{P_{a}}^{2}+\sigma _{P_{b}}^{2}-2\sigma _{P_{a},P_{b}}=p_{a}(1-p_{a})+p_{b}(1-p_{b})+2p_{a}p_{b}}$

ここで、 はおよびの共分散です。 ${\displaystyle \sigma _{P_{a},P_{b}}=-P_{a}P_{b}}$${\displaystyle P_{a}}$${\displaystyle P_{b}}$

したがって（簡略化した後）、

${\displaystyle {\text{Standard error of difference}}=\sigma _{\overline {w}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P_{w}}^{2}}{n}}}={\sqrt {\frac {p_{a}+p_{b}-(p_{a}-p_{b})^{2}}{n}}}=0.029,P_{w}=P_{a}-P_{b}}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx \pm {3.1\%}}$

${\displaystyle MOE_{95}(P_{w})=z_{0.95}\sigma _{\overline {w}}\approx \pm {5.8\%}}$

ここでは が定数に近いことを前提としていることに注意してください。つまり、A または B のいずれかを選択する回答者は、C を選択することはほとんどないということです (とは完全に負の相関に近くなります)。3 つ以上の選択肢が接近している場合、 の正しい式を選択することはより複雑になります。 ${\displaystyle P_{c}}$${\displaystyle P_{a}}$${\displaystyle P_{b}}$${\displaystyle \sigma _{P_{w}}^{2}}$

上記の誤差の計算式は、母集団が無限に大きいことを前提としているため、母集団のサイズには依存せず、サンプル サイズのみに依存します。標本理論によれば、この仮定は標本割合が小さい場合に妥当です。標本割合が小さい限り、特定の標本抽出方法の誤差は、対象となる母集団が学校、都市、州、または国のどのサイズであるかに関係なく、基本的に同じです。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$

サンプルの割合が大きい場合（実際には5％以上）、分析者は、母集団のより大きな割合をサンプリングすることで得られる追加の精度を考慮して、有限母集団補正を使用して誤差の範囲を調整する場合があります。FPCは次の式を使用して計算できます^[2]

${\displaystyle \operatorname {FPC} ={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$

...そして、例えば30万人の有権者の24%を対象に世論調査が行われた場合、 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle MOE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}=\pm 0.4\%}$

${\displaystyle MOE_{95_{FPC}}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx {\frac {0.98}{\sqrt {72,000}}}{\sqrt {\frac {300,000-72,000}{300,000-1}}}=\pm 0.3\%}$

直感的に、適切に大きい に対して、 ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \lim _{n\to 0}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}\approx 1}$

${\displaystyle \lim _{n\to N}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}=0}$

前者の場合、誤差は非常に小さいため、修正は必要ありません。後者の場合、世論調査は事実上国勢調査となり、標本誤差は問題になりません。 ${\displaystyle n}$

• エンジニアリング許容範囲
• 重要な関連性
• 測定の不確かさ
• ランダムエラー

• Sudman, Seymour および Bradburn, Norman (1982)。『質問する: アンケート設計の実践ガイド』サンフランシスコ: Jossey Bass。ISBN 0-87589-546-8 
• ウォナコット、TH; RJ ウォナコット (1990)。統計学入門（第 5 版）。Wiley。ISBN 0-471-61518-8。

Wikibooksには、誤差の範囲に関する詳細があります。

• 「誤りの理論」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「誤差の範囲」。MathWorld。