磁気回転不安定性

磁気回転不安定性 (MRI) は、巨大な中心物体を周回する降着円盤に乱流を引き起こす流体 不安定性です。これは、磁場内の導電性流体の角速度が回転中心からの距離が増加するにつれて減少するときに発生します。文献では、ヴェリホフ・チャンドラセカール不安定性またはバルバス・ホーリー不安定性としても知られていますが、電熱ヴェリホフ不安定性と混同しないでください。MRI は、降着円盤のダイナミクスの重要な部分であるため、天体物理学で特に重要です。

可動電荷を含む気体または液体は、磁場の影響を受けます。圧力や重力などの流体力学的な力に加えて、磁化された流体の要素は、電流密度、磁場ベクトルであるローレンツ力 も感じます。流体が固定された原点の周りで差動回転状態にある場合、磁場が非常に弱い場合でも、このローレンツ力は驚くほど破壊的になる可能性があります。特に、回転の角速度が半径距離とともに減少する場合、動きは不安定になります。円運動から小さな変位を受ける流体要素は、変位に比例する速度で増加する不安定化力を経験します。このプロセスは、磁気回転不安定性、または「MRI」として知られています。 ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ ,}$${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle R\ ,}$

天体物理学の分野では、差動回転系は非常に一般的であり、磁場は至る所に存在します。特に、薄いガスの円盤は、形成中の恒星の周囲や連星系でよく見られ、降着円盤として知られています。降着円盤は銀河の中心にもよく存在し、非常に明るくなる場合もあります。たとえば、クエーサーは、非常に巨大なブラックホールを取り囲むガス円盤から発生すると考えられています。MRI に関する現代の理解は、磁場の存在下での降着円盤の挙動を理解しようとする試みから生まれました。現在では、MRI は非常に多種多様なシステムで発生する可能性があることが分かっています。

MRI は、1959 年にエフゲニー・ヴェリホフが理想的な磁気流体のクエット流の安定性を検討した際に、天体物理学以外の分野で初めて注目されました。^[1]彼の結果は、 1960 年にスブラマニアン・チャンドラセカールによって一般化されました。^{[2] [3]}このメカニズムは、DJ アチソンとレイモンド・ハイド(1973) によって、地球のジオダイナモ問題で何らかの役割を果たす可能性があると提案されました。^[4]その後数十年にわたっていくつかのフォローアップ研究がありましたが (Fricke、1969 年、アチソンとハイド 1972 年、アチソンとギボンズ 1978 年)、不安定性の一般性と威力は、1991 年にスティーブン・A・バルバスとジョン・F・ホーリーがこの重要なプロセスの比較的単純な解明と物理的な説明を行うまで、十分に認識されていませんでした。^[5]

磁化された完全伝導性の流体では、磁力はいくつかの非常に重要な点において、流体の要素がゴムバンドでつながっているかのように動作します。磁力線に対して垂直にそのような要素を移動しようとすると、張力を受けたバネのように、移動量に比例した引力が発生します。通常、そのような力は復元力であり、一種の磁気波が伝播できるようにする強力な安定化作用です。しかし、流体媒体が静止しておらず回転している場合、引力は実際には不安定化する可能性があります。MRI はこの驚くべき動作の結果です。

たとえば、張力のかかったバネでつながれた2 つの質量m _i (「内側」) とm _o (「外側」) を考えてみましょう。どちらの質量も中心物体M _{c の}周りを周回しています。このようなシステムでは、中心近くの円軌道の角速度は中心から遠い軌道の角速度よりも大きくなりますが、内側の軌道の角運動量は外側の軌道の角運動量よりも小さくなります。m _iがm _oよりも中心に少し近い軌道を周回すると、角速度がわずかに高くなります。接続バネはm _iを引っ張り、m _{o を}前方に引きずります。つまり、m _{i は}減速トルクを受け、角運動量を失い、より小さい角運動量に対応する半径の小さい軌道に向かって内側に落ち込む必要があります。一方、 m _oは正のトルクを受け、角運動量が増え、より高い軌道に向かって外側に移動します。バネはさらに伸び、トルクはさらに大きくなり、動きは不安定になります。磁力は流体要素を接続する張力を受けたバネのように作用するため、磁化された流体の挙動はこの単純な機械システムとほぼ正確に類似しています。これが MRI の本質です。

この不安定な動作をより定量的に見るために、角速度で円運動する流体要素質量の運動方程式を考えてみましょう。 一般に、は回転軸からの距離の関数となり、軌道半径は と仮定します。 質量を軌道上に維持するために必要な求心加速度は で、マイナス記号は中心に向かう方向を示します。この力が中心の点質点による重力である場合、求心加速度は単に で、は重力定数、は中心質量です。ここで、何らかの摂動力によって引き起こされる、軌道上の質量要素の円運動からの小さな逸脱を考えてみましょう。変数を、質量要素の摂動されていない軌道上の場所に原点がある角速度で軌道上の質量要素とともに動く回転フレームに変換します。回転フレームで作業するときは通常、運動方程式にコリオリの力と遠心力を追加する必要があります。速度は回転フレームで測定された速度です。さらに、例えばよりはるかに小さいの近くの小さな近傍に注目すると 、遠心力と向心力の合計は ${\displaystyle \オメガ\ .}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle R\ ,}$${\displaystyle r=R_{0}\ .}$${\displaystyle -R\Omega ^{2}(R)}$${\displaystyle -GM/R^{2},}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \オメガ (R_{0})=\オメガ _{0}\ ,}$ ${\displaystyle -2{\boldsymbol {\オメガ }}_{0}\time {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle R\オメガ _{0}^{2}\ .}$${\displaystyle v}$${\displaystyle R_{0}\ ,}$${\displaystyle R_{0}+x\ ,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R_{0}\ .}$

軸が流体要素の 非摂動位置から放射状に外側を向き、軸が方位角が増加する方向（非摂動軌道の方向）を向いている場合、円軌道からわずかに逸脱した場合の運動方程式は次のようになります。 ${\displaystyle x\ .}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R=R_{0}}$

ここで、およびは、および方向の単位質量あたりの力であり、ドットは時間微分（つまり、は速度、は加速度など）を示します。およびがxとyに関して0または線形である場合、これは解析的に解くことができる結合された2次線形微分方程式のシステムです。外力およびがない場合、運動方程式は、角周波数が方程式を満たす 時間依存性を持つ解を持ちます。${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\ddot {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{x}=0}$${\displaystyle f_{y}=0}$${\displaystyle e^{i\omega t}\ ,}$${\displaystyle \omega }$

ここで、 は周転円周波数として知られています。たとえば、太陽系では、太陽中心の円軌道からの偏差は、静止している外部の観察者から見るとよく知られている楕円ですが、乱されていない円運動で動いている観察者から見ると、軌道要素の小さな半径方向および方位角方向の振動として現れます。これらの振動は、質量要素の乱されていない軌道位置を中心に、小さな逆行楕円（つまり、大きな円軌道とは反対方向に回転する）を描きます。 ${\displaystyle \kappa ^{2}}$

周転円振動数は、単位質量あたりの角運動量、つまり特定の角運動量の半径方向微分に比例することを示すように、等価的に次のように記述できます。安定した周転円振動が存在するためには、特定の角運動量が外側に増加する必要があります。そうでない場合、変位は指数関数的に増加し、不安定性に対応します。これは、安定性のレイリー基準(Chandrasekhar 1961) として知られる非常に一般的な結果です。点質点の周りの軌道では、特定の角運動量は に比例するため、レイリー基準は十分に満たされます。 ${\displaystyle (1/R^{3})(dR^{4}\Omega ^{2}/dR)\ ,}$${\displaystyle R^{1/2}\ ,}$

次に、質量要素が外部復元力を受ける場合の運動方程式の解を考えてみましょう。ここで、は任意の定数（「バネ定数」）です。ここで、および時間依存のモード変位の解を求めると、はるかに複雑な方程式が見つかります。${\displaystyle f_{x}=-Kx\ ,}$ ${\displaystyle f_{y}=-Ky}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle e^{i\omega t}\ ,}$${\displaystyle \omega \ :}$

バネは引力を発揮しますが、不安定になることがあります。たとえば、バネ定数が十分に弱い場合、支配的なバランスは方程式の左側の最後の 2 つの項の間になります。すると、減少する外向きの角速度プロファイルによって、 の負の値と、 の正と負の虚数値が生成されます。負の虚根は振動ではなく、非常に小さな変位の指数関数的増加をもたらします。したがって、弱いバネは、前のセクションの最後で定性的に説明したタイプの不安定性を引き起こします。一方、 強いバネは、直感的に予想されるように、振動を生成します。${\displaystyle K}$${\displaystyle \omega ^{2}\ ,}$${\displaystyle \omega \ .}$

運動中の完全伝導流体内の状態は、天体物理学的ガスとよく似ている。磁場が存在すると、運動する導体は自由電荷にかかるローレンツ力を除去しようとして反応する。磁力はこれらの電荷を局所的に再配置して内部電場を生成するように作用する。このようにして、電荷にかかる直接的なローレンツ力は消滅する。（あるいは、運動する電荷の局所静止系における電場は消滅する。）この誘導電場は、ファラデーの法則に従って、磁場にさらなる変化を誘導することができる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\ ,}$${\displaystyle {\boldsymbol {E=-{v\times B}}}\ .}$${\displaystyle {\boldsymbol {E+v\times B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

この式を別の方法で書くと、流体が時間とともに変位すると磁場は次のように変化する。 ${\displaystyle \delta t}$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {v}}\delta t\ ,}$

運動する完全導体内の磁場の方程式には特別な性質がある。ファラデー誘導とゼロのローレンツ力の組み合わせにより、磁場線は流体に塗られた、あるいは「凍結」されたかのように振舞う。特に、が最初はほぼ一定で、が発散のない変位である場合、方程式は次のように簡約される 。${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle \xi }$

ベクトル解析の恒等式 により、 これらの4つの項のうち、はマクスウェル方程式の1つです。発散のない仮定により、です。B はほぼ一定であると仮定されているためです。式8は、 が磁力線に沿ってせん断変位がある場合にのみ変化することを示しています。MRIを理解するには、 が垂直方向に一様で、 が 次の ように変化するケースを考えれば十分です。${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {\xi } \times \mathbf {B} )=\mathbf {\xi } (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {\xi } )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {\xi } -(\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} \ .}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {\xi } =0}$${\displaystyle (\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} =0}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle e^{ikz}\ .}$

ここで、この式の実部はその物理的内容を表現していると理解されます。（たとえばがに比例する場合、 はに比例します） ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$${\displaystyle \cos(kz)\ ,}$${\displaystyle \delta {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle -\sin(kz)\ .}$

磁場は電気的に中性の導電性流体に単位体積当たりの力を及ぼします。これはMHD近似ではマクスウェル補正が無視されるため、アンペールの回路法則で与えられる値に等しいです。単位体積当たりの力は次のようになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ .}$ ${\displaystyle \mu _{0}{\boldsymbol {J=\nabla \times B}}\ ,}$

ここで、同じベクトル計算の恒等式を使用しています。この方程式は完全に一般的なもので、磁場の強さや方向について何も仮定していません。右側の最初の項は圧力勾配に似ています。この問題では、圧力勾配はディスクの平面（圧力勾配に垂直）では力を及ぼさないため無視できます。2 番目の項は、ぴんと張った弦に似た磁気張力のように機能します。小さな外乱に対しては、力を質量で割った値、または同等に単位体積あたりの力を単位体積あたりの質量で割った値で与えられる加速度を及ぼします。 ${\displaystyle z\ .}$${\displaystyle \delta {\boldsymbol {B}}\ ,}$

したがって、磁気張力は変位に正比例する戻り力を生じさせる。これは、垂直方向に均一な磁場を持つディスクの回転面における小さな変位の振動周波数が、式5と正確に類似した式（「分散関係」）を満たし、「バネ定数」が${\displaystyle \omega }$${\displaystyle K={k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho }\ :}$

前述のように、この式の指数関数的に増加する根が波数に対して存在し、 を満たす場合 、これは MRI に対応します。磁場は式12では積としてのみ現れることに注意してください。したがって、が非常に小さい場合でも、波数が非常に大きい場合は、この磁気張力が重要になることがあります。これが、MRI が非常に弱い磁場に対しても非常に敏感である理由です。その効果は の乗算によって増幅されます 。さらに、磁場が強すぎない限り、磁場の形状に関係なく MRI が存在することが示されています。 ${\displaystyle d\Omega ^{2}/dR<0\ ,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )<-Rd\Omega ^{2}/dR\ .}$${\displaystyle kB\ .}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\ .}$

天体物理学では、一般的に、中心質量の重力に抗して回転することで円盤が支えられているケースに関心が寄せられます。ニュートンの重力と放射状の求心力のバランスから、次の式が得られます。

ここで、はニュートンの万有引力定数、は中心質量、 はディスク内の半径位置です。このいわゆるケプラーのディスクはMRI に対して不安定です。弱い磁場がなければ、流れは安定します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Rd\Omega ^{2}/dR=-3\Omega ^{2}<0\ ,}$

ケプラーの円盤の場合、最大成長率は であり、これは を満たす波数で発生し、回転周期あたり 100 を超える増幅係数に相当します。MRI が完全に発達した乱流への非線形発達は、大規模な数値計算によって追跡できます。 ${\displaystyle \gamma =3\Omega /4\ ,}$${\displaystyle (k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )=15\Omega ^{2}/16\ .}$ ${\displaystyle \gamma }$

MRI への関心は、それが天体降着円盤の乱流の起源を説明できると思われるという事実に基づいています (Balbus および Hawley、1991)。1960 年代に発見されたコンパクトで強力な X 線源の有望なモデルは、中性子星またはブラックホールが周囲からガスを引き寄せる (「降着する」) というものでした (Prendergast および Burbidge、1968)。このようなガスは常に中心物体に対して有限の角運動量で降着するため、まず回転円盤を形成する必要があります。角運動量を失わずに直接物体に降着することはできません。しかし、ガス流体の要素がどのようにして角運動量を失って中心物体に螺旋状に降着するのかは、まったく明らかではありませんでした。

1 つの説明は、せん断による乱流に関係しています (Shakura と Sunyaev、1973)。降着円盤には大きなせん断があり (中心に近いガスは円盤の外側の領域よりも速く回転します)、せん断層は乱流に分解されることがよくあります。せん断によって生成された乱流の存在は、今度は、1 つの (内側の) 流体要素から別の (より外側の) 要素に角運動量を輸送するために必要な強力なトルクを生成します。

せん断層の崩壊による乱流への変化は、速度勾配はあるが系統的な回転がない流れで日常的に観察される。これは重要な点である。なぜなら、回転によって強く安定化するコリオリの力が生じ、これがまさに降着円盤で起こることである。式5に見られるように、K = 0 の限界では指数関数的増加ではなく、コリオリ安定化振動が生じる。これらの振動は、はるかに一般的な条件下でも存在する。最近の実験室実験 (Ji et al., 2006) では、問題となる散逸効果が (レイノルズ数として知られる標準的な尺度で) 100 万分の 1 を大きく下回る条件下では、降着円盤で予想される流れプロファイルが安定していることが示されている。ただし、この変化はすべて、非常に弱い磁場が存在する場合にも起こる。MRI は、コリオリの力によって安定化されないトルクを生成する。 MRI の大規模数値シミュレーションでは、回転ディスクの流れが乱流に分解され (Hawley 他、1995)、角運動量輸送特性が大幅に強化されることが示されています。これは、降着ディスク モデルが機能するために必要なことです。星の形成 (Stone 他、2000)、中性子星およびブラック ホール システムでの X 線の生成 (Blaes、2004)、活動銀河核の生成 (Krolik、1999)、ガンマ線バースト (Wheeler、2004) はすべて、何らかのレベルで MRI の発達に関係していると考えられています。

これまで、我々は弱い磁場によって引き起こされる層流の乱流への動的崩壊に焦点を絞ってきたが、その結果生じる激しく撹拌された流れがこの同じ磁場に逆作用を及ぼす可能性もある。埋め込まれた磁力線は乱流によって引き伸ばされ、系統的な磁場増幅が生じる可能性がある。流体運動が磁場エネルギーに変換されるプロセスはダイナモとして知られている( Moffatt, 1978)。最もよく研​​究されている 2 つの例は、地球の液体の外核と太陽の表面に近い層である。これらの領域でのダイナモ活動は、地球と太陽の磁場を維持する役割を担っていると考えられている。どちらの場合も、熱対流が主要なエネルギー源である可能性が高いが、太陽の場合は差動回転も重要な役割を果たす可能性がある。MRI が降着円盤における効率的なダイナモ プロセスであるかどうかは、現在、活発に研究されている分野である (Fromang および Papaloizou, 2007)。

MRI は、古典的な降着円盤の場以外でも応用できる可能性があります。恒星の内部回転 (Ogilvie、2007) や惑星のダイナモ (Petitdemange 他、2008) も、状況によっては、対流不安定性と相まって MRI の影響を受ける可能性があります。これらの研究も進行中です。

最後に、MRI は原理的には実験室で研究できます (Ji ら、2001) が、これらの実験の実施は非常に困難です。一般的なセットアップには、同心球殻または同軸円筒殻のいずれかが含まれます。殻の間 (および殻によって閉じ込められている) には、ナトリウムやガリウムなどの導電性液体金属があります。内側の殻と外側の殻は異なる速度で回転するように設定され、粘性トルクによって閉じ込められた液体金属が差動回転します。次に、この実験では、印加磁場の存在下で差動回転プロファイルが安定しているかどうかを調査します。

球殻実験 (Sisan ら、2004) で MRI が検出されたと主張されていますが、その基礎状態自体が乱流であり、本稿執筆時点 (2009 年) では確認を待っています。 MRI と類似した磁気不安定性は、乱されていない状態で垂直磁場と方位磁場の両方が存在する場合に励起される可能性があります (Hollerbach および Rüdiger、2005)。 これは、ヘリカル MRIと呼ばれることもありますが (Liu ら、2006)、上記の MRI との正確な関係はまだ完全には解明されていません。 このヘリカル磁気不安定性は、従来の MRI よりも安定化オーム抵抗の影響を受けにくいため、実験室で励起するのが容易であり、発見された可能性があるという兆候があります (Stefani ら、2006)。しかし、流体力学的に静止した背景状態での古典的な MRI の検出は、実験室ではまだ実現されていません。

標準的な MRI のバネ質量類似体は、回転するテイラー・クエット / ケプラー流のような流れで実証されています (Hung et al. 2019)。

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