周回軌道周波数

天体物理学、特に降着円盤の研究では、周回周期周波数は、半径方向に変位した流体塊が振動する周波数です。これは「レイリー判別式」と呼ばれることがあります。差動回転のある天体ディスクを考えるとき、周回周期周波数は次のように表されます。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle \kappa ^{2}\equiv {\frac {2\Omega }{R}}{\frac {d}{dR}}(R^{2}\Omega )}$ここでRは半径座標である。^[1]

この量は、降着円盤の「境界」を調べるのに使用できます。 が負になると、流体塊の（円形と仮定した）軌道への小さな摂動が不安定になり、その時点で円盤の「端」が形成されます。 たとえば、シュワルツシルト ブラック ホールの周囲では、最も内側の安定した円軌道（ISCO）は、事象の地平線の 3 倍の で発生します。 ${\displaystyle \kappa^{2}}$${\displaystyle 6GM/c^{2}}$

ケプラーの円盤の場合、. ${\displaystyle \kappa =\オメガ }$

天体ディスクは、中心物体（例えば恒星）に比べて質量が無視でき、圧力も無視できる流体としてモデル化できます。 のような軸対称性を想定できます。円筒座標での運動方程式から始めます 。 ${\displaystyle \ファイ (r,z)=\ファイ (r,-z)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-\partial _{r}\Phi \\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}&=0\\{\ddot {z}}&=-\partial _{z}\Phi \end{整列}}}$$

2行目は、特定の角運動量が保存されることを意味します。次に有効ポテンシャルを定義することができます。 ${\displaystyle \Phi _{eff}=\Phi -{\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}=\Phi -{\frac {h^ {2}}{2r^{2}}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}&=-\partial _{r}\Phi _{eff}\\{\ddot {z}}&=-\partial _{z}\ファイ _{eff}\end{整列}}}$$

円軌道に小さな摂動を加える と 、${\displaystyle \delta {\vec {r}}=\delta r{\vec {e}}_{r}+\delta z{\vec {e}}_{z}}$$${\displaystyle {\vec {r}}=r_{0}{\vec {e}}_{r}+\delta {\vec {r}}}$$$${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}+\delta {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {\nabla }}\Phi _{eff}({\vec {r }}+\delta {\vec {r}})\estimate -{\vec {\nabla }}\Phi _{eff}({\vec {r}})-\partial _{r}^{2}\Phi _{eff}({\vec {r}})\delta r-\partial _{z}^{2}\Phi _{eff }({\vec {r}})\デルタ z}$$

そして、次のようになります 。 円軌道では 次のようになります。 円軌道の周波数は、最終的に次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\ddot {r}}&=-\partial _{r}^{2}\Phi _{eff}\delta r=-\Omega _{r}^{ 2}\delta r\\\delta {\ddot {z}}&=-\partial _{r}^{2}\Phi _{eff}\delta z=-\Omega _{z}^{2}\delta z\end{整列}}}$$$${\displaystyle \kappa ^{2}=\Omega _{r}^{2}=\partial _{r}^{2}\Phi _{eff}=\partial _{r}^{2}\Phi +{\frac {3h^{2}}{r^{4}}}}$$${\displaystyle h_{c}^{2}=r^{3}\partial _{r}\Phi }$$${\displaystyle \kappa ^{2}=\partial _{r}^{2}\Phi +{\frac {3}{r}}\partial _{r}\Phi }$$${\displaystyle \Omega _{c}^{2}={\frac {1}{r}}\partial _{r}\Phi }$$${\displaystyle \kappa ^{2}=4\Omega _{c}^{2}+2r\Omega _{c}{\frac {d\Omega _{c}}{dr}}}$$