生産機能一覧

これは経済学文献で使用されてきた生産関数の一覧です。生産関数は国民生産量と国民所得をモデル化する上で重要な要素です。さまざまな種類の生産関数とその特性、関係性、起源についてより詳しく知りたい場合は、Chambers (1988) ^{[ 1 ]}および Sickles and Zelenyuk (2019、第 6 章) ^{[ 2 ]を参照してください。}

以下に示す生産関数とその特性は、主に理解を深めるための目的で、資本（K）と労働（L）という2つの生産要素の場合について示されています。これらの関数とその特性は、土地、天然資源、起業家精神など、他の生産要素を含めるように容易に一般化できます。

生産関数に技術（または生産要素の利用効率）を組み込む一般的な方法は3つあります（ここでAは規模係数、Fは生産関数、Yは生産される物理的産出量です）。

• ヒックス中立技術、または「非要素増強」：${\displaystyle \ Y=AF(K,L)}$
• ハロッド中立的な技術、あるいは「労働力増強」技術：${\displaystyle \ Y=F(K,AL)}$
• ソロー中立技術、あるいは「資本増強」：${\displaystyle \ Y=F(AK,L)}$

生産要素間の代替弾力性とは、ある生産要素を別の生産要素でどれだけ容易に代替できるかを示す指標です。例えば、KとLという2つの生産要素の場合、これは生産等量曲線の曲率を表す指標となります。数学的な定義は以下のとおりです。

$\displaystyle \ \epsilon =\left[{\frac {\partial (slope)}{\partial (L/K)}}{\frac {L/K}{slope}}\right]^{-1}}$

ここで「傾き」は等量曲線の傾きを表し、次式で与えられる。

${\displaystyle \ slope=-{\frac {\partial F(K,L)/\partial K}{\partial F(K,L)/\partial L}}.}$

規模の経済は

• 規模の経済：すべての投入量を2倍にすると、生産量は2倍以上になる。
• 規模の経済の逓減：すべての投入量を2倍にしても、産出量は2倍未満にしかならない。
• 規模に関する収穫一定：すべての投入量を2倍にすると、生産量も正確に2倍になる。

• 定弾性代替（CES）関数：

${\displaystyle Y=A[\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }]^{\frac {1}{\gamma }}}$、 と${\displaystyle \gamma \in [-\infty ,1]}$

これには以下の特殊なケースが含まれます。

• 直線的な生産（または完全代替品）

${\displaystyle \ Y=A[\alpha K+(1-\alpha )L]}$いつ${\displaystyle \ \gamma =1}$

• コブ・ダグラス生産関数（または不完全補完関数）

${\displaystyle \ Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }}$いつ${\displaystyle \gamma \to 0}$

• レオンチェフ生産関数（または完全補完関数）

${\displaystyle \ Y={\text{Min}}[K,L]}$いつ${\displaystyle \gamma \to -\infty }$

• Translog は、テイラー多項式による CES の線形近似です。${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{KK}\ln ^{2}(K)}$

• ストーン・ギアリーは、閾値要素要件の存在を考慮したコブ・ダグラス生産関数の変形である（以下で表される）。${\displaystyle z}$）各出力

${\displaystyle Y=A\prod _{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^{\alpha _{i}}}$

• 可変代替弾力性生産関数（VES）

${\displaystyle Y=AK^{av}[L+baK]^{(1-a)v}}$

• 超越的生成関数^{[ 3 ]}

${\displaystyle Y=Ae^{a_{1}K+a_{2}L}K^{1-b}L^{b}}$

• 定常限界価値シェア（CMS）

${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }-mL}$

• スピルマン生産関数（この関数は農業経済学研究で参照されています）

${\displaystyle y=mA\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{x_{i}}}$

• フォン・リービッヒ生産関数

${\displaystyle Y=\min\{Y^{*},\beta _{1}+\beta _{2}L,\beta _{2}+\beta _{4}K\}}$

どこ${\displaystyle Y^{*}}$これは最大収量です（生産能力の制限を考慮しています）。

• 一般化尾崎（GO）コスト関数^{[ 4 ]}（コスト関数と生産関数の双対性により、特定の技術はコスト関数または生産関数のどちらでも同様に適切に表現できる^{[ 5 ]}）。

${\displaystyle C(p,y)=\sum _{i}b_{ii}\left(y^{b_{yi}}p_{i}+\sum _{j\,:\,j\neq i}b_{ij}{\sqrt {p_{i}p_{j}}}y^{b_{y}}\right)}$。

どこ${\displaystyle c}$は単位生産量あたりのコスト、単位コストを表します。${\displaystyle b_{ij}=b_{ji}}$、 そして${\displaystyle \sum _{i}b_{ij}=1}$このコスト関数は、以下の条件を満たす場合に、Diewert ^{[ 6 ]}のよく知られた一般化レオンチェフ関数に帰着する。${\displaystyle b_{yi}=0}$すべての入力に対して。

シェパードの補題を適用することにより、投入に対する需要関数を導出する。${\displaystyle i}$、${\displaystyle x_{i}}$:

${\displaystyle x_{i}={\partial C \over \partial p_{i}}=b_{ii}y^{b_{yi}}+\textstyle \sum _{i\neq j}^{m}b_{ij}{\sqrt {p_{i}/p_{j}}}y^{b_{y}}}$

ここ、${\displaystyle a_{i}}$入力量を表す${\displaystyle i}$生産量1単位あたり。