リンニクの定理

解析的整数論におけるリンニクの定理は、等差数列に関するディリクレの定理に続く自然な疑問に答えるものである。これは、等差数列における最小の素数をp( a , d )とすると、正のcとLが存在することを主張するものである。

${\displaystyle そして、\ }$

ここで、n は正の整数であり、aとd は1 ≤ a ≤ d − 1 を満たす任意の正の互いに素な整数である場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)<cd^{L}.\;}$

この定理は、1944年に証明したユーリ・ウラジミロヴィッチ・リンニクにちなんで名付けられました^{。[1] [2]}リンニクの証明ではcとLが効果的に計算可能であることが示されましたが、それらの数値は示されていません。

ジグモンディの定理から、すべてのd ≥ 3に対して、 p(1, d ) ≤ 2 ^d − 1が成り立つことがわかります。すべての素数p ≥ 5に対して、 p(1, p ) ≤ L _{p が}成り立つことが分かっています。これは、すべての素数pに対して、 L _{p は}p を法として1 に合同であり、ここで L _{p は}p番目のルーカス数を表すためです。メルセンヌ数と同様に、素数インデックスを持つルーカス数は、 2 kp +1の形式の約数を持ちます。

ほぼ全ての整数dに対してL≤2であることが知られている。^[3]

一般化されたリーマン予想では、

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,}$

ここでトーティエント関数は^[4]であり、 より強い境界 ${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)\leq \varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,}$

も証明されている。^[5]

また、次のようなことも推測されています。

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)<d^{2}.\;}$ ^[4]

定数Lはリンニク定数^[6]と呼ばれ、次の表はその大きさを決定するための進捗状況を示しています。

さらに、ヒース・ブラウンの結果では、定数c は実質的に計算可能です。