リーの定理

数学、特にリー代数の理論において、リーの定理は、^{[ 1 ]}標数ゼロの代数的に閉じた体上で、${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} が可解リー代数の有限次元表現である場合、フラグが存在する。${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$不変部分空間の${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$と${\displaystyle \operatorname {codim} V_{i}=i}$つまり、${\displaystyle \pi (X)(V_{i})\subseteq V_{i}}$各${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$そして私も。

言い換えれば、この定理は、Vの基底が存在し、Vのすべての線形変換が${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$は上三角行列で表されます。^{[ 2 ]}これは、可換行列が可換リー代数を生成し、それが当然可解であるため、可換行列は同時に上三角化可能であるというフロベニウスの結果の一般化です。

リーの定理の帰結として、標数 0 の体上の任意の有限次元可解リー代数は冪零導来代数を持つ（#帰結を参照）。また、有限次元ベクトル空間Vの各フラグには、ボレル部分代数（フラグを安定化する線形変換からなる）が対応している。したがって、この定理は次のように述べている。${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$は、あるボレル部分代数に含まれる。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$[ ^{1 ]​}

標数p > 0 の代数的に閉じた体の場合、表現の次元がp未満であれば、リーの定理は成り立ちます (以下の証明を参照) が、次元がpの表現では成り立たない場合があります。例として、固有ベクトルを持たないp次元ベクトル空間k [ x ]/( x ^p )に作用する1、 x、およびd / dxによって張られる 3 次元の冪零リー代数が挙げられます。この 3 次元リー代数とp次元表現 (可換リー代数とみなされる) の半直積を取ると、導出された代数が冪零でない可解リー代数が得られます。

証明は次元に関する帰納法による。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そして、いくつかのステップから構成されます。（注：証明の構造はエンゲルの定理の証明と非常によく似ています。）基本的なケースは自明であり、次元を仮定します。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は正である。また、 Vはゼロではないと仮定する。簡略化のため、次のように書く。${\displaystyle X\cdot v=\pi (X)(v)}$。

ステップ 1 : この定理が次の記述と同等であることに注目します。^{[ 3 ]}

• Vには、各線形変換の固有ベクトルとなるベクトルが存在する。${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$。

実際、この定理は特に、ゼロでないベクトルが${\displaystyle V_{n-1}}$は、すべての線形変換の共通固有ベクトルです。${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$逆に、vが共通固有ベクトルである場合は、${\displaystyle V_{n-1}}$その範囲となり、そして${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$商空間に共通固有ベクトルを許容する${\displaystyle V/V_{n-1}}$; 議論を繰り返します。

ステップ2：理想的なものを見つける${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$余次元1の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。

させて${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$導出代数とする。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$解けるものであり、正の次元を持つ。${\displaystyle D{\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}}$そして商は${\displaystyle {\mathfrak {g}}/D{\mathfrak {g}}}$は非零アーベルリー代数であり、確かに余次元1のイデアルを含み、イデアル対応により、 の余次元1のイデアルに対応する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。

ステップ3 ：線形関数が存在する${\displaystyle \lambda }$で${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$そのため

${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in {\mathfrak {h}}\}}$

はゼロではない。これは帰納的仮説から導かれる（固有値が線形汎関数を決定することは容易に確認できる）。

ステップ4：${\displaystyle V_{\lambda }}$は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-不変部分空間。（この手順は一般的な事実を証明するものであり、可解性とは関係ありません。）

させて${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$、${\displaystyle v\in V_{\lambda }}$すると、証明する必要がある${\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}$。 もし${\displaystyle v=0}$そうなると明らかだから、${\displaystyle v\neq 0}$そして再帰的に設定する${\displaystyle v_{0}=v,\,v_{i+1}=Y\cdot v_{i}}$。 させて${\displaystyle U=\operatorname {span} \{v_{i}|i\geq 0\}}$そして$\displaystyle \ell \in \mathbb {N} _{0}}$最大となるのは、${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$は線形独立である。次に、それらがU を生成することを証明し、したがって${\displaystyle \alpha =(v_{0},\ldots ,v_{\ell })}$はUの基底である。実際、そうではないと背理法で仮定し、${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$最小の${\displaystyle v_{m}\notin \langle v_{0},\ldots ,v_{\ell }\rangle }$すると明らかに${\displaystyle m\geq \ell +1}$。 以来${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell +1}}$線形従属であり、${\displaystyle v_{\ell +1}}$は、${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$マップを適用する${\displaystyle Y^{m-\ell -1}}$したがって、${\displaystyle v_{m}}$は、${\displaystyle v_{m-\ell -1},\ldots ,v_{m-1}}$mの最小性により、これらのベクトルはそれぞれ次の線形結合である。${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$なので${\displaystyle v_{m}}$そして、目的の矛盾が得られます。帰納法によって、すべてのに対してであることを証明します。$\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$そして${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$要素が存在する${\displaystyle a_{0,n,X},\ldots ,a_{n,n,X}}$基底フィールドの${\displaystyle a_{n,n,X}=\lambda (X)}$そして

${\displaystyle X\cdot v_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}.}$

の${\displaystyle n=0}$このケースは単純明快です。${\displaystyle X\cdot v_{0}=\lambda (X)v_{0}}$では、ある主張を証明したと仮定しましょう。$\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$そしてすべての要素${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$そして${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$。 以来${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$それは理想であり、${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$それで

${\displaystyle X\cdot v_{n+1}=Y\cdot (X\cdot v_{n})+[X,Y]\cdot v_{n}=Y\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,[X,Y]}v_{i}=a_{0,n,[X,Y]}v_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_{i}+\lambda (X)v_{n+1},}$

そして帰納法のステップが続く。これは、すべての${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$部分空間UはXの不変部分空間であり、制限写像の行列は${\displaystyle \pi (X)|_{U}}$基礎において${\displaystyle \alpha }$対角要素が等しい上三角形${\displaystyle \lambda (X)}$したがって${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X)|_{U})=\dim(U)\lambda (X)}$これを適用して${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$Xの代わりに${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\dim(U)\lambda ([X,Y])}$一方、Uは明らかにYの不変部分空間でもあるので、

${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\operatorname {tr} ([\pi (X),\pi (Y)]|_{U}])=\operatorname {tr} ([\pi (X)|_{U},\pi (Y)|_{U}])=0}$

整流子はトレースがゼロなので、${\displaystyle \dim(U)\lambda ([X,Y])=0}$。 以来${\displaystyle \dim(U)>0}$（基底体の特性に関する仮定により）可逆である。${\displaystyle \lambda ([X,Y])=0}$そして

${\displaystyle X\cdot (Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+[X,Y]\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ([X,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),}$

など${\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}$。

ステップ5：共通固有ベクトルを見つけることで証明を完了します。

書く${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}$ここで、Lは 1 次元ベクトル部分空間である。基底体は代数的に閉じているので、 には固有ベクトルが存在する。${\displaystyle V_{\lambda }}$Lの非ゼロ要素のどれか (つまりすべての) に対して。そのベクトルは、L の各要素の固有ベクトルでもある。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$これで証明は完了です。${\displaystyle \square }$

この定理は特に随伴表現に適用される。${\displaystyle \operatorname {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} は（有限次元の）可解リー代数である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$標数ゼロの代数的閉体上。したがって、基底を次のように選択できる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$に関して${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$上三角行列から構成される。各について、${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$、${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]}$対角線がゼロで構成されている。つまり、${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])}$は厳密に上三角行列である。これは、${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$は冪零リー代数である。さらに、基底体が代数的に閉じていない場合、基底体を代数的に閉じた空間に拡張しても、リー代数の可解性と冪零性は影響を受けない。したがって、次の結論が得られる（もう一方の含意は明らかである）。^{[ 4 ]}

有限次元リー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$標数ゼロの体上の問題は、導出代数が${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$冪零である。

リーの定理は、カルタンの可解性判定基準における一つの方向性も示している。

Vが特性ゼロの体上の有限次元ベクトル空間であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)}$リー部分代数、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$解けるのは、${\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=0}$すべての${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$そして${\displaystyle Y\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$[ ^{5 ]​}

実際、上記のように、基底フィールドを拡張した後、含意は${\displaystyle \Rightarrow }$容易に理解できる。（逆を証明するのはより難しい。）

リーの定理（様々なVに対して）は、次の記述と同等である。^{[ 6 ]}

解けるリー代数の場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$標数ゼロの代数的閉体上の各有限次元単純${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュール（つまり、表現として既約なもの）の次元は1です。

実際、リーの定理はこの主張を明確に示唆している。逆に、この主張が真であると仮定する。有限次元の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュールV、${\displaystyle V_{1}}$最大限である${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-部分加群（次元の有限性により存在する）。次に、最大性により、${\displaystyle V/V_{1}}$は単純である。したがって、は一次元である。これで帰納法によって証明が完了する。

この記述は特に、アーベルリー代数上の有限次元単純加群は1次元であると述べている。この場合、すべてのベクトル部分空間はリー部分代数であるため、この事実は任意の基底体上でも真である。^{[ 7 ]}

もう一つ非常に便利なアプリケーションがあります。^{[ 8 ]}

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$代数的に閉じた標数ゼロの体上の有限次元リー代数であり、根基を持つ。${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$すると、各有限次元単純表現${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} は、単純な表現のテンソル積です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$1次元表現で${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$（すなわち、リー括弧上で線形関数がゼロになる）。

リーの定理により、線形汎関数を見つけることができる。${\displaystyle \lambda }$の${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$そうすれば重量空間が確保される${\displaystyle V_{\lambda }}$の${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$リーの定理の証明のステップ4により、${\displaystyle V_{\lambda }}$また、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-モジュール;なので${\displaystyle V=V_{\lambda }}$特に、それぞれについて${\displaystyle X\in \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$、${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X))=\dim(V)\lambda (X)}$。 伸ばす${\displaystyle \lambda }$線形汎関数へ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$消えていく${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$;${\displaystyle \lambda }$は、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。 今、${\displaystyle (\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda }$。 以来${\displaystyle \pi }$と一致する${\displaystyle \lambda }$の上${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$我々はそれを持っている${\displaystyle V\otimes (-\lambda )}$は些細なことです${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$したがって、(単純な)表現の制限は${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$。${\displaystyle \square }$

• エンゲルの定理は、冪零リー代数に関するものである。
• リー・コルチン定理は、（連結な）可解線形代数群に関する定理である。

• フルトン、ウィリアム；ハリス、ジョー（ 1991）。表現論入門。大学院数学テキスト、数学読本、第129巻。ニューヨーク ：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  
• ハンフリーズ、ジェームズ・E. (1972) 『リー代数と表現論入門』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90053-7。
• ジェイコブソン、ネイサン（1979）、『リー代数』（1962年初 版の再版）、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-63832-4MR 0559927​ 
• Serre, Jean-Pierre (2001)、Complex Semisimple Lie Algebras、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン: Springer、doi : 10.1007/978-3-642-56884-8、ISBN 3-5406-7827-1MR 1808366​