ローヴェアの不動点定理

数学において、ローヴェレの不動点定理は圏論における重要な結果である。^[1]これは、カントールの対角線論証、ラッセルのパラドックス、ゲーデルの第一不完全性定理、チューリングの帰納問題に対する解決法など、数学と論理学における多くの対角線論証を広く抽象的に一般化したものである。^[2]

これは1969年にウィリアム・ローヴェアによって初めて証明されました。^{[3] [4]}

ローヴェアの定理は、任意のデカルトの閉カテゴリ とその中のオブジェクトが与えられたとき、 あるオブジェクトから指数オブジェクトへの弱点射影写像が存在する場合、すべての自己準同型写像は不動点を持つ、ということを述べています。つまり、 となる写像(ただしは内の終端オブジェクト)が存在します。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{A}}$${\displaystyle g:B\rightarrow B}$${\displaystyle b:1\rightarrow B}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle g\circ b=b}$

この定理の逆説は、多くの結果を証明するのに特に有用である。これは、不動点を持たない自己準同型が存在するような対象がカテゴリに存在する場合、弱点射影写像を持つ対象は存在しないことを述べている。この定理の重要な系には以下がある: ^[2]${\displaystyle B}$${\displaystyle g:B\rightarrow B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f:A\rightarrow B^{A}}$

• カントールの定理
• カントールの対角線論証
• 対角補題
• ラッセルのパラドックス
• ゲーデルの第一不完全性定理
• タルスキーの定義不可能性定理
• チューリングの証明
• レーブのパラドックス
• ロジャーの不動点定理
• ライスの定理